高三年级数学第四次调研考试1

高三年级数学第四次调研考试理科数学试卷一、填空题(本题共14小题，每题5分，共70分)1.函数)1(log23xxy的定义域为.答案：1,22.化简(cos225º+isin225º)2(其中i为虚数单位)的结果为.答案：i3.一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为.答案：14.抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为二次函数221yxx的图象的顶点，则此抛物线的方程为______.答案：24yx5.设函数()fxab,其中向量(2cos,1),(cos,3sin2)axbxx,则函数f(x)的最小正周期是.答案：6.已知回归直线斜率的估计值为1.2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为.答案：ˆ1.20.2yx7.当228xx时,函数252xxyx的最小值是.答案：—38.已知圆22(2)9xy和直线ykx交于A,B两点,O是坐标原点,若2OAOBO,则||AB.答案：31029.直线1kxy与曲线baxxy3相切于点)3,1(A，则b的值为.答案：310.与曲线1492422yx共焦点并且与曲线1643622yx共渐近线的双曲线方程为.答案：191622xy11.设m、n是异面直线，则(1)一定存在平面，使m且n∥；(2)一定存在平面，使m且n；(3)一定存在平面，使m，n到的距离相等；(4)一定存在无数对平面与，使m，n，且∥；上述4个命题中正确命题的序号为.答案：(1)(3)12.球的半径为2a,一平面截得球所得小圆的面积为3a2,则球心到这个平面的距离为.答案：a13.把1，2，……，100这100个自然数任意分成10组，每组10个数，将每组中最大的数取出来，所得10个数的和为S.若S的最大值为M，最小值为N，则M+N=.答案：150514.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍.你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理.现在图③中的曲线分别是22221(0)xyabab与222xya，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为.答案：ab二、解答题(本题共6小题，总分90分)15.（本题满分14分）已知函数()coscos()2fxxx，（1）若0,x，求函数()fx的最大值与最小值；（2）若0,6x，且1sin23x，求()fx的值.答案：（1）()sincos2sin()4fxxxx，…………2分0,x，，min()1fxmax()2fx…………6分分别在30,4xx时取得.…………8分（2）0,6x，sincosxx，()0fx，…………11分Oxyxl①②③甲甲乙乙(将l向右平移)又1sin23x222[()](sincos)1sin23fxxxx，6()3fx.…………14分16.（本题满分15分）如图，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的右顶点，BC过椭圆中心O，且AC·BC=0，||2||BCAC，（1）求椭圆的方程；（2）若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE，则AB与DE有什么位置关系？证明你的结论.答案：（1）A（2，0），设所求椭圆的方程为：224byx=1(0b2)，……2分由椭圆的对称性知，|OC|=|OB|，由AC·BC=0得，AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1）．……4分∵C点在椭圆上，∴22141b=1，∴b2=34．所求的椭圆方程为43422yx=1．……8分（2）是平行关系.…………10分D（-1，1），设所求切线方程为y-1=k（x+1）2213144ykxkxy，消去x，222(13)6(1)3(1)40kxkkxk…………12分上述方程中判别式=29610kk，13k又13ABk，所以AB与DE平行.…………15分17.（本题满分15分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由.答案：（1）证明:连结BD.在长方体1AC中，对角线11//BDBD.又E、F为棱AD、AB的中点，//EFBD.11//EFBD.又B1D1平面11CBD，EF平面11CBD，EF∥平面CB1D1.…………5分（2）在长方体1AC中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，B1D1⊥平面CAA1C1.又B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…………10分（3）最小值为32…………12分如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为32.…………15分18．（本题满分15分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元,每生产千件,须另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且218.7010)()10810(10)3xxRxxx1x(3（1）写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式:（2）年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入—年总成本)答案：（1）010x时，W=R(x)-(10+2.7x)=8.7x+21-21102.73xxFFOyxCBA=216113xx当x10时，10181()(102.7)108102.798330WxRxxxxx010)18198,(10)30xxWxx21+6x+11,(3…………………………………………7分（2）①当010x时，2211(1881)38(9)3833Wxxx9x时，W取得最大值，max38W②当10x时，1819830Wx，1819830Wx是减函数，181198383833W综合①②、当9x时W取最大值当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大。………………15分19．（本题满分15分）已知函数y=f（x）=为有理数）（为无理数）xx1(0.（1）证明这个函数为偶函数；（2）证明T=12是函数的一个周期，进而寻找函数是否有其他的周期，最后说明这个函数的周期组成什么集合.答案：（1）对任意实数x，x与-x同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（-x），又定义域关于原点对称，函数为偶函数；………………………5分（2）当T=12时，对任意实数x，x与x+12同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（x+12），所以T=12是函数的周期；…………8分当T为有理数时，对任意实数x以及有理数T，x与x+T同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（x+T），所以T是函数的周期；…………11分当T为无理数时，f（-T）=0，f（-T+T）=f（0）=1，所以T不是函数的周期，函数的所有周期组成有理数集合…………15分20．（本题满分16分）幂函数y=x的图象上的点Pn(tn2,tn)（n=1,2,……）与x轴正半轴上的点Qn及原点O构成一系列正△PnQn－1Qn（Q0与O重合），记an=|QnQn－1|（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式an;（3）设Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的实数∈[0,1]，总存在自然数k，当n≥k时，3Sn－3n+2≥(1－)(3an－1)恒成立，求k的最小值.PnQnQn-1Q1P1yxO答案：(1)由P1(t12,t1)（t0），…1分,得kOP1=1t1=tan3=3t1=33∴P1(13,33)…………2分a1=|Q1Q0|=|OP1|=23…………5分(2)设Pn(tn2,tn)，得直线PnQn－1的方程为：y－tn=3(x－tn2)可得Qn－1(tn2－tn3,0)直线PnQn的方程为：y－tn=－3(x－tn2)，可得Qn(tn2+tn3,0)所以也有Qn－1(tn－12+tn－13,0)，得tn2－tn3=tn－12+tn－13，由tn0，得tn－tn－1=13∴tn=t1+13(n－1)=33n…………8分∴Qn(13n(n+1),0),Qn－1(13n(n－1),0)∴an=|QnQn－1|=23n…………10分(3)由已知对任意实数时∈[0,1]时n2－2n+2≥(1－)(2n－1)恒成立对任意实数∈[0,1]时，(2n－1)+n2－4n+3≥0恒成立…………12分则令f()=(2n－1)+n2－4n+3，则f()是关于的一次函数.对任意实数∈[0,1]时f(0)≥0f(1)≥0n2－4n+3≥0n2－2n+2≥0…………14分n≥3或n≤1又∵n∈N*∴k的最小值为3…………16分