高三第一学期期末数学抽查试题

高三第一学期期末数学抽查一、填空题：1、函数43sin2xxf的最小正周期是32。2、不等式112xx的解集是1,1。3、边长分别为7,6,5的三角形的最大角的大小是51arccos。4、若函数,3,31xxxf，则方程71xf的解是1x。5、若复数Raiia3是纯虚数，则a31。6、过点1,3且与直线13xy平行的直线的一般式方程是043yx。7、已知m227cos，则43cos21m（用含m的代数式表示结果）。8、已知无穷等比数列na的第二项52a，各项和16S，则该数列的公比q41。9、设10,10ba，则nnnnbabalim0。10、在圆422yx上与直线01234yx距离最小的点的坐标是56,58。11、我国男足运动员转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费协商过程纷纷“爆料”：媒体A：“……,凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元。”媒体B：“……,凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同时增加了不少附加条件。”媒体C：“……,凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。”请根据表中提供的汇率信息（由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值），我们可以发现只有媒体C（填入媒体的字母编号）的报道真实性强一些。12、如图，已知ABCD和1111DCBA都是正方形，且11//BAAB，1111DDCCBBAA，若将图中已作出的线段的两个端点分别作为向量的始点和终点所形成的不相等的向量的全体构成集合M，则从集合M中任取两个向量恰为平行向量的概率是337（用分数表示结果）。二、选择题：13、设yx,都是实数，则“yx”是“yx”的条件（A）A，充分非必要；B，必要非充分；C，充要；D，既非充分又非必要。14、已知等比数列na中，3697aa，且95a，则11a（B）A，27；B，4；C，4；D，32。15、定义在R上的函数xf既是偶函数又是周期函数，若xf的最小正周期是，且当2,0x时，xxfsin，则35f的值为（D）A，21；B，21；C，23；D，23。16、若方程122qypx表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（C）A，1222pypqx；B，1222qypqx；C，1222pyqpx；D，1222pyqpx。三、解答题：17、已知：向量522,sin,cos,sin,cosbaba，求：cos。解法一：由2582522222babababa，又由条件得1ba，∴2521ba，∴2521sinsincoscoscosba。解法二：∵522cos22sinsincoscos22ba，∴252122582cos。18、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线xy22的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为1，直线FA与抛物线交于点A、B，求向量OA和OB夹角的大小。解：0,21F，由抛物线的对称性，不妨设2,1A，则直线FA的方程为2122xy，把它代入xy22，得22,41B，则22,41,2,1OBOA，设向量OA和OB夹角为，则33433141cosOBOAOBOA，由对称性，当2,1A时，结论相同。∴向量OA和OB夹角的大小为33arccos。19、求证：不存在虚数z同时满足：①11z；②012zzk（k为实数且0k）。解：假设存在虚数0,,bRbabiaz且同时满足两个条件，即0020211211222222222baabaabakbazzzkazzba与假设0b矛盾，∴不存在虚数z同时满足①②两个条件。20、人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题。05年10月24日出版的《环球时报》就报道了一篇俄罗斯政府目前遭遇“人口危机”的文章。报道中引用了以下来自俄政府公布的数据：●截至05年6月底，俄罗斯人口为431.1亿，人口密度每平方公里只有38.8人；●04年一年俄人口就减少了76万，05年1月至5月共又减少了9.35万；●据俄联邦安全会议预测，到2050年，俄将只有约1亿人口，比目前锐减%30。试根据以上数据信息回答下列问题：（1）以04年至05年5月这17个月平均每月人口减少的数据为基础，假设每月人口减少相同，预测到2050年6月底，俄罗斯的人口约为多少亿？（保留三位小数）（2）按第（1）小题给定的预测方法，到何时俄罗斯的人口密度将低于每平方公里5人？解：（1）由给出的信息可知，17个月里平均每月人口减少5824.6179.3576万人，2005年6月底至2050年6月底共经过5404512个月，若每月人口减少数相同，则到2050年6月底俄罗斯的人口数约为504.107555405824.614310万，即约为076.1亿。（2）设从05年6月底起，经n个月后俄罗斯的人口密度将低于每平方公里5人，于是有8.876105824.638.851431.1538.8431.1105824.6431.144nn，∴至少要经过877个月，即73年零1个月，也就是到2078年7月底，俄罗斯的人口密度将低于每平方公里5人。21、设函数1xxg，函数axxxh,3,31，其中a为常数且0a，令函数xf为函数xg和xh的积函数。（1）求函数xf的表达式，并求其定义域；（2）当41a时，求函数xf的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数xf的值域恰为21,31？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由。解：（1）31xxxf，0,0aax。（2）∵41a，∴函数xf的定义域为41,0，令tx1，则21tx，23,1t，∴241422ttttttFxf，∵tt4时，23,12t，又23,1t时，tt4递减，∴tF单调递增，∴136,31tF，即函数xf的值域为136,31。（3）假设存在这样的自然数a满足条件，令tx1，则241422ttttttFxf，∵0,0aax，则1.1at，要满足值域为21,31，则要满足21maxtF，由于当且仅当tt42t时，有44tt中的等号成立，且此时21tF恰为最大值，∴11,12aa，又tF在2,1上是增函数，在1,2a上是减函数，∴31311aaaF90a，综上，得91a。22、已知二次函数Rxaaxxxf2同时满足：①不等式0xf的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210xx，使得不等式21xfxf成立。设数列na的前n项和nfSn，（1）求数列na的通项公式；（2）试构造一个数列nb，（写出nb的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有nnab，且2limnnnba，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列nc中，所有满足01iicc的正整数i的个数称为这个数列nc的变号数。令nnaac1（n为正整数），求数列nc的变号数。解：（1）∵0xf的解集有且只有一个元素，∴40042aaaa或，当0a时，函数2xxf在,0上递增，故不存在210xx，使得不等式21xfxf成立。当4a时，函数442xxxf在2,0上递减，故存在210xx，使得不等式21xfxf成立。综上，得4a，442xxxf，∴442nnSn，∴（2）要使2limnnnba，可构造数列knbn，∵对任意的正整数n都有nnab，∴当2n时，52nkn恒成立，即kn5恒成立，即325kk，又0nb，∴*Nk，∴23nbn，等等。（3）解法一：由题设2,52411,3nnncn，∵3n时，0325283245241nnnnccnn，∴3n时，数列nc递增，∵0314a，由505241nn，可知054aa，即3n时，有且只有1个变号数；又∵3,5,3321ccc，即0,03221cccc，∴此处变号数有2个。综上得数列nc共有3个变号数，即变号数为3。解法二：由题设2,52411,3nnncn，2n时，令422927252303272529201nnnnnnnnccnn或或；又∵5,321cc，∴1n时也有021cc。综上得数列nc共有3个变号数，即变号数为3。