高三第一次模拟考试数学理科试题07-5-2

湖南省长沙市周南中学2007届高三第一次模拟考试数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么)()()(BPAPBAP如果事件A、B相互独立，那么AP(·)()APB·)(BP如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(球的表面积公式24RS球，其中R表示球的半径．球的体积公式343VR球，其中R表示球的半径．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．计算12iii的结果为（）A.1iB.1iC.3iD.3i2．已知2xfx的反函数为1fx,114fafb,则11ab的最小值为A．12B．13C．14D．13．关于直线,mn与平面,，有以下四个命题：①若//,//mn且//，则//mn；②若,mn且，则mn；③若,//mn且//，则mn；④若//,mn且，则//mn；其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③4．函数)(xf对Ryx,都有)()()(yxfyfxf，若21)1(f，)()(*Nnnfan，则数列na的前n项和nS的极限是()。A．0B．1C．21D．25、把函数sin(2)16yx的图象按向量(,1)6a平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，则所得图象的函数解析式是（）A、2sin(4)23yxB、sin(4)6yxC、sin(2)6yxD、2cos(4)3yx6．已知)(xf是R上的减函数，且1)3(,3)0(ff设{|()3},{|()1}PxfxtQxfx若“Px”是“Qx”的充分不必要条件，则实数t的取值范围（）A、3tB、3tC、0tD、0t7．设1F、2F为曲线1C：12622yx的焦点，P是曲线2C：1322yx与1C的一个交点，则2121·PFPFPFPF的值为（）A．41B．31C．32D．318．已知ln1(1)()0(1)xxfxx，则方程2()()0afxbfx(a,b为常数且0ab）不相等的实数根共有A.5个B.6个C.7个D.8个9．从数字1，2，3，4，5中,随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其中各位数字之和不等于9的概率为A、112125B、109125C、107125D、10612510．若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线:0laxby的距离为22,则aarctanb的取值范围是A．]36[，B．]20[，C．]12512[，D．]412[，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11．函数f(x)＝12log21x的定义域是12.已知)0()(8axax展开式中的常数项为1120，则这个展开式中各项的系数和为13．若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为．14．已知实数,xy满足220240330xyxyxy，则|1|zxy取值范围是15．已知数列}{na是首项为1，公差为2的等差数列，将数列}{na中的各项排成如右一个三角形数表：记A（i，j）表示第i行从左至右的第j个数，例如，A（4，3）=9a=17.则A（10，2）=A（i，j）=.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止。设每位工人每次测试通过的概率依次为0.2，0.5，0.5。(1)求工人甲在这次上岗测试中参加考试次数的分布列及通过测试的期望；(2)若有4位工人参加这次测试，求至少有一人不能上岗的概率。17.(本小题满分12分)△ABC中,A、B、C对边分别为abc、、,已知027,60,10bBac(1)求sin()6A；(2)若D为△ABC外接圆劣弧AC上的一点且2ADDC,求四边形ABCD的面积.18．(本小题满分12分)如图（1）在直角梯形ABCP中，BC∥,,,APCDBCABAPPDDCAD=2，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将PDC沿CD折起，使平面PDC平面ABCD（如图2）（1）求二面角DEFG的大小；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，并给出证明过程.ABCD19．（本小题满分12分）近几年，长沙市为改善城区交通投入巨资，交通状况有了一定的改善，但五一路仍是市中心交通最为拥堵的地区之一。为确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v（千米/小时）的平方与车身长s（米）之积的正比例函数，且最小车距不得少于车身长的一半，现假定车速为50千米/小时，车距恰为车身长。⑴试写出d关于v的解析式（其中s为常数）；⑵问应规定怎样的车速，才能使此地车流量1000vQds最大？20．（本小题满分13分）设椭圆22221(0)xyabab的焦点分别为12(1,0)FF(-1,0)、，右准线l交x轴于点A，且122AFAF.（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F、2F分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值.21．（本小题满分14分）已知函数axxgxxf)(,cos)(.（1）求函数])2,2[)(()()(xxfxgxh的单调区间;(2)证明:对任意的Rx,都有|||)(|xxf;(3)若),()(]),43,4[(,211nnxfxgxa求证:|2||2|21xx……+)(2|2|NnxnyxOF2F1EMNDAl周南中学2007届高三第一次模拟考试数学参考解答（理）1．D.2．A．3．D．4．B．5、B、6．A、7．D．8．C.9．D、10．C．11．0,1;12.6561;13．36．;14．0,4;15．93；212iij16．（本小题满分12分）（1）的取值为1、2、3。511P52215112P522115113P故工人甲在这次上岗测试参加考试次数的分布列123P515252511523522511E……………………6分（2）每位工人通过测试的概率为542112115111…………8分每位工人不能通过测试的概率为51…………………………………10分至少有一人不能通过测试的概率6253695414……………12分17.解:(1)由正弦定理得:47sinsinsin3acbACB10acsinsinAC5327…………2分∵,BCA60120,∴sinsin()5312027AA…………3分于是得sin()57614A…………6分(2)∵,,,ABCD共圆,60B∴120D在△ADC中,由余弦定理可求,AD2sinACDSADCD1120232,…………9分在△ABC中,由余弦定理得出24ac∴ABCSacsib160632,∴ABCDABCACDSSS83…………12分ABCD18.取AD的中点H,连HG、HF，EFDCPD,∥DC，,EFDF又平面PDC平面ABCD，且DCHD，HD平面PDC，又EF平面PDC，由三垂线定理，得EFHF，DFH就是二面角DEFG的平面角.在HDFRT中，,121,121ADDHPDDF45DFH，即二面角DEFG的大小为45.……6分(2)PBQ是线段当点的中点时，有PC平面ADQ.证明过程如下:E为PC的中点,EQ∥BC,又AD∥BC,EQ∥AD,从而A、D、E、Q四点共面．在PDCRt中，EDCPD,为PC的中点，DEPC，又PD平面ABCD，CDAD，PCAD，又DDEAD，PC平面ADEQ，即PC平面ADQ.…………………………………12分解法二:建立如图所示的空间直角坐标系则),2,0,0(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(PCBA).0,2,1(),1,0,0(),1,1,0(GFE设平面GEF的法向量为),,(zyxn,则00zyxEGnyEFn,取).1,0,1(n又平面EFD的法向量为),0,0,1(m所以,21||||,cosnmnmnm,45,nm即二面角DEFG的大小为45.(1)设),10(PBPQ则).22,2,22(PQAPAQ,210)22(2220PCAQPCAQ又PCAD,PC平面ADQ21点Q是线段PB的中点.…………12分19、解：⑴由已知：212500dksvk…………………2分∴212500dsv…………………3分当2sd时，2125225002ssvv∴20252212522500svdsvv…………6分⑵当252v时，212500dsv∴12100025000002500012500()2500vQvssvssvv，此时50v千米/小时…………9分当0252v时，2sd∴211000100032vvQQsss…………11分故当50v千米/小时时，车流量最大。…………12分20．解（Ⅰ）由题意，12||22FFc，∴2,0Aa，…………2分∵122AFAF∴2F为A1F的中点…………3分∴23a，22b即椭圆方程为22132xy.…………5分（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，DE2423ba，此时223MNa，四边形DMEN的面积为42DEMN.同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为42DEMN.…………7分当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设:1DEykx，代入椭圆方程，消去y得：2222236360kxkxk.设11,Dxy，22,Exy，则212221226,2336,23kxxkkxxk.…………8分所以，221212122431423kxxxxxxk，所以，22122431123kDEkxxk，同理，MN22221143143131223kkkk..…………10分所以，四边形的面积S2DEMN=224311223kk22143132kk=222212421613kkkk，令221ukk，得24(2)44136136uSuu因为2212ukk，当1k时，962,25uS，且S是以u为自变量的增函数，所以964.25S综上可知，964.25S即四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为9625..………13分21.解(1)xaxhxaxxhsin)(,cos)(,.……………1分当1a时,)(,0)(xhxh在]2,2[上单调递增;.……………2分当1a时，)(,0)(xhxh在]2,2[上单调递减；.……………3分