高三第一次联合诊断数学试题

高三第一次联合诊断数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式(1+x)(1-|x|)＞0的解集是A.{x|-1＜x＜1｝B.{x|x＜1｝C.{x|x＜-1或x＞1＝D.{x|x＜1且x≠-1＝2.对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是A.（-∞，-2）B.［-2，+∞)C.［-2，2］D.［0，+∞)3.设O为矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为旋转轴，旋转这个矩形所得体积为V，其中以OA为母线的圆锥体积为4V，则以OB为母线的圆锥的体积等于A.12VB.9VC.15VD.4V4.设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-∞，0）上递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是A.f(a+1)=f(b+2)B.f(a+1)＞f(b+2)C.f(a+1)＜f(b+2)D.不确定5.复数z1、z2在复平面上对应点分别是A、B，O为坐标原点，若z1=2(cos60°+isin60°)z2，|z2|=2，则△AOB的面积为A.43B.23C.3D.26.如果二项式（xx23）n的展开式中第8项是含3x的项，则自然数n的值为A.27B.28C.29D.307.A、B、C、D、E，5个人站成一排，A与B不相邻且A不在两端的概率为A.103B.53C.101D.以上全不对8.把函数y=cosx-3sinx的图象向左平移m个单位（m＞0）所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是A.6B.3C.32D.659.已知抛物线C1：y=2x2与抛物线C2关于直线y=-x对称，则C2的准线方程是A.x=-81B.x=21C.x=81D.x=-2110.6人一个小组，其甲为组长，乙为副组长，从6人中任选4人排成一排，若当正、副组长都入选时，组长必须排在副组长的左边（可以不相邻），则所有不同排法种数是A.288B.276C.252D.7211.如图△ABD≌△CBD，则△ABD为等腰三角形，∠BAD=∠BCD=90°，且面ABD⊥面BCD，则下列4个结论中，正确结论的序号是①AC⊥BD②△ACD是等边三角形③AB与面BCD成60°角④AB与CD成60°角A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④12.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.在△ABC中，3cos(B+C)+cos(2+A)的取值范围是.14.函数f(x)=13xax(x≠-1)，若它的反函数是f-1(x)=xx13,则a=.15.Sn是等差数列{an}的前n项和，a5=2，an-4=30(n≥5,n∈N)，Sn=336,则n的值是.16.给出四个命题：①两条异面直线m、n，若m∥平面α，则n∥平面α②若平面α∥平面β，直线mα，则m∥β③平面α⊥平面β，α∩β=m，若直线m⊥直线n，nβ，则n⊥α④直线n平面α，直线m平面β，若n∥β，m∥α，则α∥β，其中正确的命题是.三、解答题（本大题共6小题，共7417.（本小题满分12分）解关于x的方程：loga(x2-x-2)=loga(x-a2)+1(a＞0且a≠1).18.（本小题满分12分）已知等差数列{an}中，a2=8，S10=185.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an;（Ⅱ）若从数列{an}中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，试求{bn}的前n项和An.19.（本小题满分12分）在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角A—BD—C大小记为θ.（Ⅰ）求证：面AEF⊥面BCD；（Ⅱ）θ为何值时，AB⊥CD.20.（本小题满分12分）某公司取消福利分房和公费医疗，实行年薪制工资结构改革，该公司从2000年起每人的工资由三个项目并按下表规定实施项目金额（元/人·年）性质与计算方法基础工资一万元考虑物价因素，从2000年起每年递增10%（与工龄无关）房屋补贴400元按照职工到公司的年限计算，每年递增400元医疗费1600元固定不变如果公司现有5名职工，计划从明年起每年新招5（Ⅰ）若今年（2000年）算第一年，试把第n年该公司付给职工工资总额y(万元)表示成年限n的函数；（Ⅱ）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工资总额的20%？21.（本小题满分12分）设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=23x-4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.（Ⅰ）试求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx+1,是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分14分）已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的图象上有两点A（m，f(m1)）、B(m2，f(m2))，满足f(1)=0且a2+(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)·f(m2)=0.（Ⅰ）求证：b≥0；（Ⅱ）求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是［2，3)；（Ⅲ）问能否得出f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论.答案一、1.D2.B3.A4.B5.B6.C7.D8.C9.C10.A11.B12.B二、13.［-2,3］14.115.2116.②③三、17.解：原方程可化为loga(x2-x-2)=loga(ax-2)2分22022axxxax4分由②得x=a+1或x=0,当x=0时，原方程无意义，舍去.8分当x=a+1由①得10022aaaa10分∴a＞1时，原方程的解为x=a+112分18.解：(Ⅰ)设{an}首项为a1,公差为d,则1852)92(10811dada,解得351da∴an=5+3(n-1),即an=3n+26分①②（Ⅱ）设b1=a2,b2=a4,b3=a8,则bn=a2n=3×2n+2∴An=(3×2+2)+(3×22+2)+…+(3×2n+2)=3×(2+22+…+2n)+2n=3×12)12(2n+2n=6×2n-6+2n12分19.（Ⅰ）证明：在Rt△ABC中，∠C=30°，D为AC的中点，则△ABD是等边三角形又E是BD的中点，∵BD⊥AE，BD⊥EF，折起后，AE∩EF=E，∴BD⊥面AEF∵BD面BCD，∴面AEF⊥面BCD6分（Ⅱ）解：过A作AP⊥面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD相交于Q，令AB=1，则△ABD是边长为1的等边三角形，若AB⊥CD，则BQ⊥CD6331AEPE,又AE=23∴折后有cosAEP=31AEPE由于∠AEF=θ就是二面角A—BD—C的平面角，∴当θ＝π-arccos31时，AB⊥CD12分20.解：（Ⅰ）第n年共有5n个职工，那么基础工资总额为5n(1+101)n（万元）医疗费总额为5n×0.16万元，房屋补贴为5×0.04+5×0.04×2+5×0.04×3+…+5×0.04×n=0.1×n(n+1)（万元）2分∴y=5n(1+101)n+0.1×n(n+1)+0.8n=n［5(1+101)n+0.1(n+1)+0.8］（万元）6分（Ⅱ）5(1+101)n×20%-［0.1(n+1)+0.8］=(1+101)n-101(n+9)=101［10(1+101)n-(n+9)］∵10(1+101)n=10(1+Cn1Cn1101+Cn21001+…)＞10(1+10n)＞10+n＞n+9故房屋补贴和医疗费总和不会超过基础工资总额的20%12分21.解：（Ⅰ）由抛物线y2=23x-4,即y2=23(x-32),可知抛物线顶点为（32,0）,准线方程为x=63.在双曲线C中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x=63,∴33213363322222cbabaccac∴双曲线c的方程3x2-y2=14分（Ⅱ）由0241)12(3131222222xxxxyxxy∴|AB|=2108分（Ⅲ）假设存在实数k,使A、B关于直线y=ax对称，设A(x1,y1)、B(x2,y2),则222)(121212121xxayyxxkyyka由022)3(1312222kxxkxykxy④由②③，有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2⑤由④知：x1+x2=232kk代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称.12分22.（Ⅰ）证明：因f(m1),f(m2)满足a2+［f(m1)+f(m2)］a+f(m1)f(m2)=0即［a+f(m1)］［a+f(m2)］=0∴f(m1)=-a或f(m2)=-a,∴m1或m2是f(x)=-a的一个实根，∴Δ≥0即b2≥4a(a+c).∵f(1)=0,∴a+b+c=0且a＞b＞c,∴a＞0,c＜0,∴3a-c＞0,∴b≥05分(Ⅱ)证明：设f(x)=ax2+bx+c=0两根为x1,x2,则一个根为1，另一根为ac,②③又∵a＞0,c＜0，∴ac＜0,∵a＞b＞c且b=-a-c≥0,∴a＞-a-c＞c,∴-2＜ac≤-12≤|x1-x2|＜310分（Ⅲ）解：设f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-ac)由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a不妨设f(m1)=-a则a(m1-1)(m1-ac)=-a＜0,∴ac＜m1＜1∴m1+3＞ac+3＞1∴f(m1+3)＞f(1)＞0∴f(m1+3)＞012分同理当f(m2)=-a时，有f(m2+3)＞0,∴f(m2+3)或f(m1+3)中至少有一个为正数14分