高考数学直线方程及其应用练习

直线方程及其应用一.教学内容：直线方程及其应用【教学要求】1.理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练求出直线方程。2.掌握两直线平行、垂直的条件；掌握两条直线所成角的公式和点到直线的距离公式。3.了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单应用。二.知识串讲：（一）基本公式1.有向线段设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（）则向量，（或与平行的向量）称为直线112212112PPxxyyPPPP12的方向向量。（）两点间距离公式。21212212212||||()()PPPPxxyy（）是直线上不同于，的任意一点，若存在实数，使3PPPPP1212PPPPPPPP1212，则叫做点分有向线段所成的比，点叫定比分点。PPPP121()P1PP2P1P2PPP1P2P为内分点，λ＞0；P为外分点，λ＜0。定比分点公式：xxxyyy1212111()中点坐标公式：xxxyyy121222例如：设△ABC，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（）为重心，则133123123GABCxxxxyyyyGGAEGBDFC（）为∠平分线，则2AFBACBFFCABAC||||2.直线l的倾斜角α（直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角）ylP2(x2,y2)P1(x1,y1)Ox0斜率ktan()2kyyxxxx212112()若，时，tanarctanmmm0mm0时，arctan||（二）直线方程1.直线方程：（1）点斜式：y－y0＝k（x－x0）（已知：点P0（x0，y0），斜率k）（2）斜截式：y＝kx＋b（已知：斜率k及纵截距b）（3）两点式：yyyyxxxxxxyyPxyPxy1211211212111222()()()，（已知：两点，，，）（4）截距式：xaybab1（已知：，是横、纵截距）（5）一般式：Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0）2.两条直线的位置关系：设：：或ll11122211122200ykxbykxbAxByCAxByC（）∥（）1212121212kkbb(),llAABBCC12121212ll∥（）·⊥（，存在）21121212kkkkllAABB1212120··⊥ll（）若的方向向量是，的方向向量是，则3ll12abll12∥abR()ll120⊥·ab（）与相交，解方程组求交点坐标。4121212AABBll（5）夹角θ：按逆时针方向从l1转到l2所成的角，叫做l1到l2的角。0180两条直线相交所成的锐角或直角，叫做两条直线的夹角θ。090l2θ'l1θ当∥，或重合时，ll120llkkkk1221121到的到角公式：·（有方向）tan夹角公式：（无方向）tan||kkkk211213.点到直线的距离公式：P（x0，y0）是已知点，l：Ax＋By＋C＝0是已知直线，则dAxByCAB||00224.对称点：（）点、关于点对称是中点1ABCCAB（）点、关于直线对称⊥的中点在上2ABlABlABlkkABlABl·中点坐标满足直线的方程15.直线系方程：（1）过定点（x1，y1）的直线系方程：AxxByyAB()()1100（、不同时为）（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：AxByCC110（为任意实数）（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：BxAyCC220（为任意实数）（）过两直线：和：交点的直线4lAxByClAxByC1111222200系方程：AxByCAxByCl11122220()（不包含方程）（为任意实数）（三）简单的线性规划1.二元一次不等式表示平面区域一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域。只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0）从Ax0＋By0＋C的正、负即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的区域。（若C≠0时，可取原点（0，0））yOxAxByCAxByC00不含边界线，包含边界线。由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。2.线性规划：I.基本概念：（1）线性约束条件：由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x，y的约束条件。（2）目标函数：关于，的解析式，如：，xyzxyzxy222线性目标函数：关于x，y的一次解析式。（3）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。（4）可行域：所有可行解组成的集合。（5）最优解：使目标函数达到最值的可行解。（6）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大（小）值问题。II.用图解法解线性规划的步骤：（1）分析并将已知数据列出表格；（2）确定约束条件；（3）确定线性目标函数；（4）画出可行域；（5）利用线性目标函数，求出最优解；（6）实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解。例如：已知动点（x，y）所在区域是如图所示的阴影部分（包括边界），则目标函数z＝x＋2y的最小值和最大值分别为_____________。yx-2y+4=0(4,4)2x-y+4=01x+2y=0O1xx+y-1=0解：作直线x＋2y＝0平移此直线经过第一个点是（1，0）此时zmin1再往上平移到最后一点为（4，4）此时zmax12【典型例题】例1.直线·的倾斜角的取值范围是（）xycos10AB..44434，，CD..0434022，∪，，∪，解析：设，∵kcoscos11∴11k设直线倾斜角为，则11tany1Ox-13442又，0如图知：，∪，0434∴选C例2.若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线lykxxy32360l的倾斜角的取值范围是解析1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得斜率的范围，进而得到倾斜角的范围。解析2：如图，直线过点（，），（，）23603002xyAB直线必过点（，）lC03yBlOAxC当过点时，两直线交点在轴上lAx当绕点逆时针旋转时，交点进入第一象限lCkCAtan00336，∴∴，62例3.一条直线经过点P（2，3），并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线x－4y＋3＝0的倾斜角的2倍。（2）与x，y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小。解：（1）设所求直线的倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则214，且tan且tantantantan2218152故所求直线的方程为：yx38152()即81560xy（）设直线方程为，代入点，的坐标，得：2xaybP1232312624ababab＋，得：从而SabAOB1212当且仅当，∴2332abkba∴所求直线方程为：yx3322()即为32120xy例4.如图，为正三角形，边、上各一点、，且，ABCBCACDEBDBC13CECAADBEPAPCP13，、交于。求证：⊥。yAEPBODCx证明一：以B为坐标原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系。取|BC|为单位长1，则各点坐标为：BCAD00101232130，，，，，，,由题意：，设（，），则AEECExy2xy1221125632201236，∴，E5636直线的方程为：ADyx33131直线的方程为：BEyx352联立、，解得：，12514314xy∴点的坐标为，P514314∴kPC39∴·kkAPPC33391∴AP⊥CP证明二：以B为坐标原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系，过D作DF∥BE交AC于F点，取|BC|为单位长1，则EFECAEAE13131216yAEPFBODCx∴PDAP16∴APAD67又，，，，，DAC130123210ADCA16321232，，，∴，APAD6717337CPCAAP914314，由·CPAD0∴AP⊥CP说明：数形结合强调的是将代数问题几何化，而解析法则是通过坐标系将几何问题代数化。例5.已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，求过点（，）与，垂直并且被，截得的弦长为的直线方程。mnllll12125解：∵∥，∴llmmn12281∴或mnmn4242（）当时，：144801mlxynlxy22410：在上取一点，，则点到的距离为lPPl211205即4128048522n∴n220∴或nn1822∴或mnmn418422又，∴所求直线的斜率为kkl1122∴所求直线方程为：或yxyx18242224即或21002300xyxy（）当时，：244801mlxynlxy22410：在上取一点，，则点到的距离为lPPl21111205即4128048522n∴n220∴或nn2218∴或mnmn422418∴所求直线方程为或22602140xyxy例6.求直线：关于直线：对称的直线的方程lxylxyl122403410解：由解得：与的交点（，－）且点也在上24034103212xyxyllAAl解法1：在直线l1上取一点B（2，0），设点B关于直线l的对称点C的坐标为C（x0，y0）则有·中点在上kkBClBCl1即···yxxy00000234132240210()解得即（，－）xyC0045854585直线的方程：lyx222853345()()即211160xyyOxl2ll1解法2：设的斜率为，又知的斜率为，直线的斜率为，则（由lkll21234到角公式）：－·342134234134()()()()()kk解得：k211lyx222113的方程：()()即211160xy例7.直线交，轴于，两点2360xyxyAB（）试在直线上求一点，使最小；1111yxPPAPB（）在求一点，使最大，并求出两最值及的值。222212yxPPAPBPP解：直线：与，轴的交点分别是（，），（，）lxyxyAB23603002（）作点关于直线的对称点，则，120ByxBB''连即轴交于点（，）即为点ABxyxP'001（由三角形两边之和大于第三边）PBPAPBPABA1111''∴当为直线与的交点时，最小PAByxPBPA111'最小值为BA'325y2B1-2P1AB'O123xP1'ly=-x（）作点关于直线的对称点，则