高考数学直线的倾斜角和斜率训练1

直线的倾斜角和斜率、直线的方程一.教学内容：直线的倾斜角和斜率、直线的方程二.本周教学重、难点：1.重点：直线的倾斜角和斜率的概念、直线方程的几种重要形式。2.难点：斜率的概念的学习，过两点直线的斜率公式的建立，直线方程的应用。【典型例题】[例1]（1）已知M（4，3），N（2，15）若直线l的倾斜角是MN的一半，求l的斜率解：242315MNk设l的倾斜角为2tan1tan22tanMNk∴2122kk012kk∴251k∵0k∴251k（2）过P（1，3）的直线l与y轴的正半轴没有公共点，求l的倾斜角的范围。解：3tan∴3∴),2[]3,0[（3）若直线l的斜率)(12Rmmk则直线l的倾斜角的取值范围是什么？解：∵112mk∴),2(]4,0[[例2]过点P（1，4）作直线与两坐标轴正向相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线方程。解：设1byax（0a，0b）∵过P（1，4）∴141ba∴942545)41)(()(abbaabbabababa当1414baabba∴63ba时，9)(minba∴163yx即062yx[例3]在ABC中，A（2，8），B（4，0），C（5，0）求过B且将ABC面积分成2:1的直线方程。解：设l交AC于P点，则（1）PCAP21；（2）PCAP2（1）当PCAP21时，P（x，y）满足316211083211252yx∴l：)4(7316xy即0642116yx（2）当PCAP2时，P（x，y）满足382108421102yx∴l：)4(838xy即043yx[例4]设P1（x1，y1），P2（2x，2y）l：0CByAx，求l与直线21PP的交点P（不过P2）分21PP的比。解：设P分21PP的比为，则P（121xx，121yy）∵lP∴0112121CyyBxxA∴0)(2211CByAxCByAx∵022CByAx∴CByAxCByAx2211当0时，P1，P2在l同侧当0时，P1，P2在l异侧[例5]过点（5，4）作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个平方单位，求直线l的方程。解：设直线l的方程为)0,0(1babyax∵l过点（5，4）∴145ba即abab45又直线l与两坐标轴围成三角形面积为5∴5||||21ba则10ab∴1045ababab∴425ba或25ba∴l的方程为：02058yx或01052yx[例6]求经过点A（3，4）且在坐标轴上截距为相反数的直线l的方程。解：（1）当l在坐标轴上截距都不为零时，设方程为1ayax将A（3，4）代入上式有143aa，解得7a∴所求直线方程为07yx（2）当l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为kxy将A（3，4）代入方程得k34，即34k∴xy34即034yx[例7]已知ABC的一个顶点A（4，2）两条中线所在直线方程为0223yx和01253yx，求ABC各边所在直线的方程。解：∵A（4，2）不在这两条中线上∴这两条中线应是边AB和AC上的中线解022301253yxyx得232yx∴ABC的重心G（32，2）设B（2x，2y）C（3x，3y）则23232343232yyxx∴)2(4)1(63232yyxx不妨设B在中线0223yx上，点C在中线01253yx上∴)4(01253)3(02233322yxyx联立（1）（2）（3）（4）解得4222yx0433yx即B（2，4）C（4，0）∴AB边所在直线方程为)4(42242xy即0103yxAC边所在直线方程为)4(44020xy即044yxBC边所在直线方程为)4(42040xy即082yx若调换B、C的位置，则BC边所在直线的方程不变，AB与AC的方程互换[例8]过定点P（2，1）作直线l，分别与x轴、y轴正向交于A、B两点，求使AOB面积最小时的直线方程。解：显然所求l的斜率存在且小于0，设其为k（0k）则l为)2(1xky令0y得A（k12，0）令0x得B（0，k21）∴|21||12|21||||21kkOBOASOAB)414(21)21()12(21kkkk其中0k，4)4)(1(241kkkk当且仅当kk41即21k时，kk41的最小值为4此时OABS的最小值为4)44(21∴所求直线方程为)2(211xy即042yx【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择：1.已知直线l的倾斜角为120，则直线l的斜率是（）A.3B.3C.33D.332.已知l的斜率23，那么l的倾斜角为（）A.3B.32C.)23arctan(D.23arctan3.直线l的倾斜角的正弦值为53，则l的斜率是（）A.43B.34C.43D.344.若直线过（32，9），（36，15）两点，则l的倾斜角为（）A.60B.120C.45D.1355.已知A（x，2），B（3，0）且AB的斜率为21，则x的值是（）A.1B.1C.1D.06.直线l的倾斜角为，且320，则l的斜率k的范围是（）A.03kB.3kC.3k或0kD.33k或0k7.已知一直线倾斜角为31arctan，且直线过（1，2）则直线方程为（）A.053yxB.053yxC.053yxD.073yx8.经过两点（1，1），（3，9）的直线在x轴上的截距是（）A.23B.32C.52D.2二.填空：1.l经过二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k，则sink的取值范围是。2.在y轴上的截距为6，且与y轴相交成45角的直线方程为。3.若方程014)()32(22mymmxmm表示一条直线，则m。4.已知直线02)32()2(2ayaaxa在x轴上的截距为3，则在y轴上的截距为。三.解答题：1.过P（1，1）的直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率和倾斜角。2.已知l与0743yx的倾斜角相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求l的方程。3.过点P（4，2）作l分别交x轴，y轴正半轴于A、B两点，当AOB面积最小时，求直线l的方程。【试题答案】一.1.B2.D3.C4.B5.B6.C7.A8.A二.1.（，1）2.6xy3.14.154三.1.解：设A、B两点的坐标分别为（a，0）和（0，b）∵AB的中点坐标为（1，1）∴120120ba即22ba∴1)2(002ABk倾斜角为1352.解：直线0743yx的斜率为43∵l与0743yx的倾斜角相等∴l的斜率为43设l的方程为bxy43，l的横截矩为bx34∵l与两坐标轴围成三角形面积为24∴24|||34|21bb即6b∴l：643xy3.解：设l的方程为1byax（0a，0b）∵)2,4(P在l上∴124ba∵41)224(242baba当2124ba时，取“=”∴8a，4b时，AOBS最小