概率题

概率题概率题：以教材例、习题模型为背景，重点考查独立事件的概率以及利用排列组合知识解决的概率问题，理科注意概率分布和数学期望；文科考查概率的计算。3．某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开的概率是多少？（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？答案：5把钥匙，逐把试开有A55种等可能的结果.（1）第三次打开房门的结果有A44种，因此第三次打开房门的概率P（A）=5544AA=51.（2）三次内打开房门的结果有3A44种，因此，所求概率P（A）=5544AA3=53.（3）方法一：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A33A22种，从而三次内打开的结果有A55－A33A22种，所求概率P（A）=55223355AAAA=109.方法二：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C12A13A12A33种；三次内恰有2次打开的结果有A23A33种.因此，三次内打开的结果有C12A13A12A33+A23A33种，所求概率P（A）=55332333121312AAAAAAC=109.4．在2004年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局赢的概率为35，已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求：（1）中国女排在这种情况下取胜的概率；（2）设比赛局数为，求的分布列及E.（均用分数作答）答案：(1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，∴中国女排取胜的概率为32233323297()()5555625C(2)224(3)()525P，123223351(4)()()555125PC12223332332270(5)()()()5555625PCC，所以的分布列为318125E．17、（本小题满分12分）在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率．17、解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．所求概率为1P＝20.4)(1×20.5＝20.3＝0.09∴乙连胜四局的概率为0.09．-----------------------------------------------------6分（2）丙连胜三局的对阵情况如下：第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．故丙三连胜的概率2P＝0.4×20.6×0.5＋（1-0.4）×20.5×0.6＝0.162．--------12分17．（本题满分12）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A1、A2、A3；田忌的三匹马B1、B2、B3；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜，双方均不知对方的马出场顺序。（1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A1B1A2B2A3B3；则田忌获胜的概率是多大？（2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A1B1A2B2B3A3；则田忌获胜的概率是多大？17、（1）解：田忌获胜的概率是16；ξ345P42551125270625（2）解：田忌获胜的概率是13。18、（12分）2006年12月9日，在第十五届多哈亚运会羽毛球男子单打决赛中，排名世界第一的林丹迎战陶菲克，在此前一周内，林丹曾两次击败陶菲克，但在决赛中，林丹却意外地以0：2失利，与冠军擦肩而过，根据两人在以往的交战成绩分析，林丹在每一局的比赛中获胜的概率但是0.7，比赛按“三局二胜制”的规则进行（即先胜两局的选手获胜，比赛结束），且设各局之间互不影响；⑴求林丹以0：2失利的概率；⑵若林丹与陶菲克下次在比赛中再次相遇，请你计算林丹获胜的概率；⑶若林丹与陶菲克下次在比赛中再次相遇，试求林丹的净胜局数的分布列和期望值。18、（本小题满分14分）平面上有两个质点A0,0，B2,2，在某一时刻开始每隔1秒向上下左右任一方向移动一个单位.已知质点A向左，右移动的概率都是41，向上，下移动的概率分别是31和p，质点B向四个方向移动的概率均为q.(1)求p和q的值；(2)试判断至少需要几秒，A、B能同时到达D2,1，并求出在最短时间同时到达的概率？18、(1)质点向四个方向移动是一个必然事件，则61p；41q.(2)至少需要3秒才可以同时到达D，则当经过3秒，A到达D点的概率为13()()()CPPP右上上112.设N1,2，C1,1，H2,3，F3,2，E3,1，M2,0，则经过3秒，B到时达D的可能情境共有9种.B到达D点的概率为649)41(93.又B到达D点与A到达D点之间没有影响，则A，B同时到达的概率为25636491212、口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球.（I）求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的数学期望；（II）设第n次由甲摸球的概率为na，试建立1na与na的递推关系，并求数列{na}的通项公式.解：（I）记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B，则32)()(,31844)()(BPAPBPAP，且A、B相互独立.………………（2分）据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中.271)31()()3(.27232)31()()2(.2710)32(3231)()()1(.2714)32(3132)()()0(3223AAAPPAAAPPABAPAAPPABAPBAPP)7(.2717271327222710127140分E（II）据摸球规则可知，第n次由甲摸球包括如下两个事件：①第n－1次由甲摸球，且摸出红球，其发生的概率为311na；②第n－1次由乙摸球，且摸出白球，其发生的概率为32)1(1na.∵上述两个事件互斥，).2(3231),1(3231111naaaaannnnn即……………………（10分）由)2(32311naann)2)(21(3121,)2(1naannn得，∵甲进行第一次摸球，11a，即.21211a………………………………（12分）∴数列)21(na是首项为21，公比为－31的等比数列，1)31(2121nna.故1)31(2121nna.……………………………………………………………（14分）17．（本题满分12分）甲，乙两人进行乒兵球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P.（1）如果甲，乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试求P的取值范围.（2）若31P，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.（3）如果甲，乙两人比赛6局，那么甲恰好胜3局的概率可能是31吗？为什么？17．解：设每一局比赛甲获胜的概率为事件A，则1)(0AP（1）由题意知)1()1(3342224PPCPPC…………………………………………2分即)1(4)1(6322PPPP解得P=0或153P…………………………………4分（2）甲获胜，则有比赛2局，甲全胜，或比赛3局，前2局甲胜1局，第3局甲胜，故27731)311(31)31(12222CCP……………………………………………………8分（3）设“比赛6局，甲恰好胜3局”为事件C则P（C）=.)1(3336PPC………9分当P=0或P=1时，显然有31)(CP…………………………………………………10分又当0P1时，3333)1(20)1(123456)(PPPPCP316420)21(20])21[(20)]1([206323PPPP…………………………11分故甲恰好胜3局的概率不可能是31.……………………………………………………12分17．(本小题满分12分)抛一枚均匀的骰子（骰子的六面分别有数字1、2、3、4、5、6）来构造数列}{na，使)(,1)(,1次出现偶数时当第次出现奇数时当第nnan，记nniiaaaa211.（1）求713iia的概率；（2）若210iia，求371iia的概率.17.解：（1）设事件713iia为A，则在7次抛骰子中出现5次奇数，2次偶数，而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为P是相等的，且为21P根据独立重复试验概率公式：12821)21()21()(2557CAP………………………………6分（2）若2,2,0212121iiiiiiaaa或则，即前2次抛骰子中都是奇数或都是偶数.若前2次都是奇数，则必须在后5次中抛出3次奇数2次偶数，其概率：645)21()21(4123251CP…………………………………………………………8分若前2次都是偶数，则必须在后5次中抛出5次奇数，其概率：.1281)21(4152P…………………………………………………………………………10分所求事件的概率.12811128164521PPP………………………………12分17．(本小题满分12分)在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是43；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率为121；乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是41．（１）求乙、丙各自击中目标的概率；（２）求目标被击中的概率．17解：（１）记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A、B、C．则由已知，得P(A)=43,P(A·C)=P(A)P(C)=41[1-P(C)]=121,∴P(C)=32………3分由P(B·C)＝P(B)P(C)=41，得32P(B)=41，∴P(B)＝83.…………8分（２）目标被击中的概率为1-P(A·B·C)＝1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-43)(1-83)(1-32)=9691,………10分答：(1)乙、丙各自击中目标概率分别为83，32;(2)目标被击中的概率为9691.………12分17．（本小题满分12分）移动公司进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，中奖后移动公司返还顾客现金1000元，小李购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是小李补偿50元给同事购买一台价格600元的小灵通（可以得到三张奖券），小李抽奖后实际支出为（元）.（1）求的分布列；（2）试说明小李出资50元增加1张奖券是否划算。17、（1）的所有可能取值为2450,1450,450，－550,34645125(2450)()P1331448()55125(1450)()PC2231412()55125(450)()PC33311()5125(550)PC，分布列为24501450450－550P6412548125121251125…（6分）（2）6448121()1251251