高考数学一题多解一题多变测试5

一题多解、一题多变考查知识点：函数的对称中心原题：函数)lg(12++=xxy的图象关于原点对称。解：该函数定义域为R，且))­(­lg()()­(12++=+xxxfxf+)lg(12++xx=))(­lg(1122++++xxxx=01=lg)(­)­(xfxf=∴，∴该函数图像关于原点对称变题1：已知函数)(xfy=满足)(­)­(11+=+xfxf则)(xfy=的图象的关于),(01对称解：)(­)­(11+=+xfxf∴)(1+=xfy为奇函数，即)(1+=xfy的图象关于原点),(00对称，故)(xfy=的图象关于),(01对称。变题2：已知函数)(xfy=满足2=+)­()(xfxf，则函数)(xfy=的图象关于),(10对称解：由2=+)­()(xfxf得，∴]­)([­­)­(11xfxf=，)(xfy=－1为奇函数，即)(xfy=－1的图象关于（0，0）对称，∴)(xfy=的图象关于),(10对称变题3：已知函数)(xfy=满足22=++)()(xfxf，则)(xfy=的图象关于（1，1）对称解：令1­tx=，则tx­­1=，故由22=++)()(xfxf得211=++)­()(tftf，即)(xf满足211=++)­()(xfxf，即]­)([­­)­(1111+=+xfxf，∴11­)(+=xfy的图象关于原点（0，0）对称，故)(xfy=的图象关于（1，1）对称。结论：若函数)(xfy=满足bxcfxaf=++)­()(，则)(xfy=的图象关于()22bca,+对称。变题4：已知244+=xxxf)(求证：（1）11=+)­()(xfxf（2）指出该函数图象的对称中心并说明理由。（3）求)()()(100110001000210001fff+++的值。（1）证明：1242244244244111=+++=+++=+xxxxxxxxfxf­­)­()(，得证。-（2）解：该函数图象的对称中心为），（2121，由11=+)­()(xfxf得12121=++)-()(xfxf即]-)([--)-(21212121+=+xfxf，∴2121-)(+=xfy的图象关于原点中心对称，故)(xfy=的图象关于），（2121对称。（3）解：11=+)-()(xfxf，故11001100010011=+)()(ff，1100199910012=+)()(ff，……，∴)()()(100110001000210001fff+++=500变题5：求证：二次函数)()(02≠++=acbxaxxf的图象没有对称中心。证明：假设),(nm是)()(02≠++=acbxaxxf的图象的对称中心，则对任意Rx∈，都有nxmfxmf2=++)­()(，即ncxmbxmacxmbxma222=+++++++)­()­()()(恒成立，即有ncbmamax=+++22恒成立，也就是0=a且02=++ncbmam­与0≠a矛盾所以)()(02≠++=acbxaxxf的图象没有对称中心。