高考数学数列与极限专项训练

高考数学数列与极限专项训练（02）一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．在等比数列{}na中，122aa,3450aa，则公比q的值为（）A．25B．5C．－5D．±52．已知等差数列{}na中，6385aaa，则9a的值是（）A．5B．15C．20D．253．给定正数,,,,pqabc,其中pq,若,,paq成等比数列,,,,pbcq成等差数列,则一元二次方程220bxaxc（）A．无实数根B．有两个相等的实数根C．有两个同号的相异的实数根D．有两个异号的相异的实数根4．等差数列{}na的前n项和记为nS,若2610aaa为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是（）A．6SB．11SC．12SD．13S5．设数列{}na为等差数列，且2447685622004,aaaaaaa则等于（）A．501B．±501C．2004D．±20046．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若1m，且211210,38mmmmaaaS，则m等于（）A．38B．20C．10D．97．设等比数列{}na的前n项和为nS，若63:1:2SS，则93:SS（）A．1:2B．2:3C．3:4D．1:38．某人为了观看2008年奥运会，从2001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数（元）为（）A．7(1)apB．8(1)apC．7[(1)(1)]apppD．811appp9．已知1fxbx为x的一次函数，b为不等于1的常量，且gn1(0)[(1)],(1)nfgnn,设1nagngnnN，则数列{}na为（）A．等差数列B．等比数列C．递增数列D．递减数列10．已知log2log20ab,则limnnnnnabab的值为（）A．1B．－1C．0D．不存在第1个第2个第3个12345768aaaaaaaa11．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1.14=1.461.15=1.61）（）A．10%B．16.4%C．16.8%D．20%12．已知323()(3)2,(3)2,lim3xxfxffx则的值为（）A．－4B．8C．0D．不存在二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知等比数列{}na及等差数列{}nb，其中10b，公差0d．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为.14．设数列{}na满足1236,4,3aaa,且数列1{}()nnaanN是等差数列，求数列{}na的通项公式.15．设442xxfx，利用课本中推导等差数列前n项和方法，求121111ff…1011f的值为.16．（文）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块.（理）已知132nna，把数列{}na的各项排成三角形状；记(,)Amn表示第m行，第n列的项，则(10,8)A.三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17．（本小题满分12分）已知一个数列{}na的各项是1或3．首项为1，且在第k个1和第1k个1之间有21k个3,即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．记数列的前n项的和为nS．（1）试问第2004个1为该数列的第几项？（2）求2004a；（3）2004S；（4）是否存在正整数m，使得2004mS？如果存在,求出m的值；如果不存在,说明理由．18．（本小题满分12分）如图，曲线2(0)yxy上的点iP与x轴的正半轴上的点iQ及原点O构成一系列正三角形△11OPQ，△122QPQ，…△1nnnQPQ…设正三角形1nnnQPQ的边长为na,nN(记0Q为O),,0nnQS.（1）求1a的值;（2）求数列{}na的通项公式na;（3）求证:当2n时,有2222122111132nnnnaaaa.19．（本小题满分12分）假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末．．．．加1000元；（Ⅱ）每半年．．．结束时加300元。请你选择。（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？20．（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项的“均倒数”为121n，（1）求{}na的通项公式；（2）设21nnacn，试判断并说明1nnccnN的符号；（3）（理）设函数2()421nafxxxn，是否存在最大的实数，当x时，对于一切自然数n，都有()0fx。（文）已知0nanbtt，数列{}nb的前n项为nS，求1limnnnSS的值。yOxQ1Q2P1P2P321．（本小题满分12分）若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数2(1)nnan，34nnTSn.（Ⅰ）求数列{}nb的通项公式；（Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线nl的斜率为nb.且与曲线2yx有且仅一个交点，与y轴交于nD，记11||(27)3nnndDDn求nd；（Ⅲ）若221121():lim()1.2nnnnnnnddxnNxxxndd求证22．（本小题满分14分）已知数列{}na中，11,a且点1,nnPaanN在直线10xy上.（1）求数列{}na的通项公式；（2）若函数123123(),2,nnfnnNnnananana且求函数()fn的最小值；（3）设1,nnnbSa表示数列{}nb的前项和。试问：是否存在关于n的整式gn，使得12311nnSSSSSgn对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出gn的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。参考答案（二）一、选择题（每小题5分，共60分）：(1).D(2).C(3).A(4).B(5).A(6).C(7).C(8).D(9).B(10).B(11).B(12).B提示（9）B1,111111nnabgngnbgn121112131bbgnbbgnbbbbgnb2213bbgnb……1111011nnnnbbgbbbb二、填空题（每小题4分，共16分）(13).978；(14).27182nnna（n∈N*）；(15).5；(16).（文）42n（理）89132()提示13.设}{na的公比为q，由题知：011112221aaqdaqd，，，解得1121.aqd，，则12nna，1nbn．这个新数列的前10项之和为11221010()()()ababab12(aa101210[0(9)])()978101210122abbb14.由已知21322,1,1(2)1aaaa∴121()(1)13nnaaaannn≥2时，11232211()()()()nnnnnaaaaaaaaaa=(4)(5)(1)(2)6nn=27182nn1n也合适∴27182nnna()nN15.14441211424242xxxfxfxxxx设121111Sffn…101101010111111fff5nS三、解答题（共74分，按步骤得分）17.解：将第k个1与第1k个1前的3记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；213(1,3,3,3,,3)k共个为第k对，共1(21)2kk项；…．故前k对共有项数为2462(1)kkk．…………2分（Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2003(2003+1)+1=4014013（项）．…4分（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而20043a．…7分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是2004S=45+3×1959=5922．…9分（Ⅳ）前k对所在全部项的和为2(1)3[(1)]3kkSkkkkkk．易得，25(251)S=3×252+25=1900，26(261)S=3×262+26=2054，651S=1901，且自第652项到第702项均为3,而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使mS=2004．…………12分18.解（1）由条件可得13,11122Paa,代入曲线2(0)yxy得21111312,0,423aaaa;……5分(2)12Saaann∴点13(,)11122PSaannnn代入曲线2(0)yxy并整理得3121142Saannn,于是当*2,nnN时,313122()()1114242aSSaaaannnnnnn即13()()()11124aaaaaannnnnn2*0,(2,)113aaaannNnnnn…………10分又当314221,,(12224233nSaaa时舍去）2213aa,故2*()13aanNnn所以数列{na}是首项为23、公差为23的等差数列,23ann;…………12分19．解：设方案一第n年年末加薪an，因为每年末加薪1000元，则an=1000n；设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n；(1)在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元。方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋20(201)3002=63000元；……6分(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n＋(1)10002nn=500n2＋500nT2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n×300＋2(21)3002nn=600n2＋300n…………10分令T2n≥Sn即：600n2＋300n500n2＋500n，解得：n≥2，当n=2时等号成立。∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案…12分20.解：(1)21121aaaannnn，(1)21121aaannn两式相减，得412annn，3,411aannNn(2)41332,2121212123annccnnnnnn，330,112123ccccnnnnnn即.…………8分(3)（理）由（2）知11c是数列cn中的最小项，∵x时，对于一切自然数n，都有()0fx，即2421anxxcnn，∴2411xxc，即2410xx，解