高考数学数列与不等式试题选编

高考数学数列与不等式试题选编数列（一）选择题、填空题示例：一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折（既沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别是（）（A）ba81,8（B）ba641,64（C）ba1281,128（D）ba2561,256答案：C示例：已知数列}{na满足,,),2(2111baaanaaannn记,321nnaaaaS则下列结论正确的是（）A．abSaa2,100100B．abSba2,100100C．abSba100100,D．abSaa100100,答案：A.示例：在正数x、y之间插入数a，使之成为等差数列，又x、y之间插入数b、c使之成为等比数列，则有()A.bca2C.bca2C.bca2D.bca2答案：D示例：2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死＂禽流感＂病毒N的同时能够自身复制．已知１个细菌M可以杀死１个病毒N，并且生成２个细菌M，那么１个细菌M和2047个＂禽流感＂病毒N最多可生成细菌M的数值是()A.1024B.2047C.2048D.2049答案：C.示例：某班试用电子投票系统选举班干部，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1、2、3、…、k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”.令01),(jif则同时同意第1、2号同学当选的人数为（）A．f（1,1）+f（1，2）+…+f（1,k）+f（2，1）+f（2，2）+…+f（2,k）B．f（1,1）+f（2，1）+…+f（k，1）+f（1，2）+f（2，2）+…+f（k，2）C．f（1,1）f（1，2）+f（2，1）f（2，2）+…+f（k，1）f（k，2）D．f（1,1）f（2，1）+f（1，2）f（2，2）+…+f（1,k）f（2，k）答案：C.示例：已知数列{na}前n项和nnnbbaS)1(11其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若nnSlim存在，则nnSlim________．答案：1示例：设数列an的通项公式为13212)(nnnnaaaaaaNnnna满足且，试写出一个满足条件的,值.答案:不唯一，3的所有实数均可.由)()]1()1[(221nnnnaann.3),12(,,012知由恒成立对nNnn示例：如图，第n个图形是由正2n边形“扩展”而来，（).,3,2,1n则第2n个图形中共有个顶点.答案：nn2示例：计算机执行以下程序①始值0,311sx；②21nnxx；③nnnxss1；④如2003ns，则进⑤行，否则从②继续运行；⑤打印nx；⑥Stop；那么由语句⑤打印出的数值为.答案：９１（二）解答题示例：化工厂购进了245桶液体工业原料，为了方便保管和运输，要求将它们堆放成纵截面为等腰梯形的一垛，且相邻两层只相差一桶。在不考虑占地面积、堆放高度等具体条件时，堆放方案有哪几种？答案：ｄ＝１，由等差数列前ｎ项和公式可得到1a与ｎ的关系：1a＝245n－12n，又1a１，所以：ｎ（ｎ＋１）４９０，而ｎ可取４９０的不大于２１的正整数约数２，５，７，１０，１４，最后共有五种设计方案：ｎ＝２时1a＝１２２；ｎ＝５时1a＝４７；ｎ＝７时1a＝３２；ｎ＝１０时1a＝２０；ｎ＝１４时1a＝１１.示例：设各项均为正数的数列}{na的前n项和为nS，对于任意的正整数n都有等式nnnSaSaSaS412222211成立.（1）求1a；（2）求证)(NnaaSnnn21412;(3)求1limnnS.答案：(1)当n=1时，21a.（2）当2n时，241nnnnnaSSSannnaaS21412当n=1时，也符合nnnaaS21412)(NnaaSnnn21412(3)当2n时，1212121412141nnnnnnnaaaaSSa0211))((nnnnaaaa0na，21nnaa于是数列}{na是首项为2，公差为2的等差数列.)()(1222nnnnSn,111111nnnnSn)(,)]()()[(limlim111312121111nnSnknkn1111)(limnn.示例：已知函数f(x)=bx+cx+a的图象过原点，以直线x=-1为渐近线，且关于直线x+y=0对称.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若数列{an}（n∈N*）满足：an0，a1=1，an+1=[f(an)]2，求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式an，并证明你的结论；（3）若数列{an}的前n项的和为Sn，判断Sn与2的大小关系，并证明你的结论.答案：(1)∵函数f(x)=bx+cx+a的图象过原点，即f(0)=0，∴c=0，∴f(x)=bxx+a.又函数f(x)=bxx+a=b-abx+a的图象以直线x=-1为渐近线，且关于直线x+y=0对称，∴函数y=f(x)的图象以(-1，1)为对称中心的双曲线，∴a=1，b=1，∴f(x)=xx+1.(2)由题意有an+1=[anan+1]2，即an+1=anan+1，即1an+1=1an+1，∴1an+1-1an=1.∴数列{1an}是以1为首项，1为公差的等差数列.∴1an=1+(n-1)=n，即an=1n，∴an=1n2.∴a2=14，a3=19，a4=116，an=1n2.(3)当n≥2时，an=1n21n(n-1)=1n-1-1n.∴Sn=a1+a2+a3+…+an1+1-12+12-13+13-14+…+1n-1-1n=2-1n2.故Sn2.示例：数列}{na中，首项a1=2，前n项和为Sn，对于任意点),(1nnnSSP，点Pn都在平面直角坐标系xoy的曲线c上，曲线c的方程为4,3,2,1,3:,8)83(4nttyttx其中.（1）判断}{na是否为等比数列，并证明你的结论；（2）若对每个正整数21,,,nnnaaan以为边长能构成三角形，求t的范围.答案：（1）由2212112,2aaaSaS222111111:4(2)2(38)8.3838,.(*)244(38)8,4(38)8(2)4(38)(2)38:(2)(**)438(*),(**)()438{}2,.4nnnnnnnnnnntattattatattStStStStntatanatnatatnNattat得于是又两式相减得故由知是首项为公比为的等比数列（2）由（1）知：Nnttann1)483(2112121211383,01,204{}:0,,:.3838382()2()2().4441651658,8,3,551658.5nnnnnnnnnnnnnttatanaaaaaaaaatttttttttt时又是一个单调递减的数列对每个正整数都有为边长能构成一个三角形的充要条件是解得或且示例：已知数列{}{}()()()()abABnnnnCaDbnnnnnnn、，，，，，，，，121122为直角坐标平面上的点.（1）n∈N，点A，Bn，Cn在同一条直线上，求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}是首项为－3，公差为3的等差数列，Sn表示△ACnDn的面积，设HSSSnn12…，试用n表示Hn；（3）求limnSann22.答案：(1)∵对n∈N，点A，Bn，Cn在同一条直线上,∴KKnnnnaanABACnnnn即12112213.（2）又数列{bn}是首项为－3，公差为3的等差数列，∴bnn36.△ACnDn的面积SbadnnnnACDnn121249×××||||.当12n且n∈N时，SnHnnnn12941272()()，,当nnNSnn31249且，().Hnnnn521232721124927262…,所以HnnnnnnnNn12721272662()().（3）limnSann224.不等式（一）选择题、填空题示例：已知01ab，不等式lg()1xxab的解集是{|10}xx，则,ab满足的关系是()A．1110abB．1110abC．1110abD．1110ab答案：C.示例：某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771）A.5B.10C.14D.15答案：C.示例：不等式31xx的解集是_______.答案：40xx.示例：观察下列式子：,474131211,3531211,23211222222，则可以猜想的结论为：___________________________.答案：112)1(131212221nnn（二）解答题示例：已知0a且1,a试解关于x的不等式1log17log.2aaxx答案：令log1atx(0t),则原不等式260320tttt.30,20,tt即0log12ax，1log5.ax故当1a时，原不等式的解是5;axa当01a时，原不等式的解是5.axa示例：解不等式：).1(12)1(axxa答案：原不等式可化为,02)2()1(xaxa即.0)2)](2()1[(xaxa∵a1，∵（x－2）.0)12(aax当212aa时，即0a1时，解集为};122|{aaxx当212aa时，即a=0时，解集为；当212aa时，即a0时，解集为.212|xaax示例：（1）已知,ab是正常数，ab，,(0,)xy，求证：222()ababxyxy，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数29()12fxxx（1(0,)2x）的最小值，指出取最小值时x的值．答案：（1）2222222222()()2abyxyxxyababababxyxyxy2()ab，故222()ababxyxy．当且仅当22yxabxy，即abxy时上式取等号；（2）由（1）22223(23)()252122(12)fxxxxx．当且仅当23212xx，即15x时上式取最小值，即min[()]25fx．示例：对于定义在区间,mn上的两个函数fx和gx，如果对任意的,xmn，均有不等式1fxgx成立，则称函数fx与gx在,mn上是“友好”的，否则称“不友好”的.现在有两个函数log3afxxa与1logagxxa0,1aa，给定区间2,3aa.（1）若fx与gx在区间2,3aa上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论函数fx与gx在区间2,3aa上是否“友好”.答案：（1）函数fx与gx在区间2,3aa上有意义，必须满足23020010,1aaaaaaa（2）假设存在实数a，使得函数fx与gx在区间2,3aa上是“友好”的，则2222log43log431aa