高考数学数列的求和测试

专题考案(2)数列板块第3课数列的求和(时间：90分钟满分：100分)题型示例已知y=f(x)是一次函数，且f(2),f(5),f(4)成等比数列，f(8)=15,求Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*)的表达式.分析要求和，关键要先求出f(n).解由y=f(x)是一次函数可设f(x)=ax+b,则f(2)=2a+b,f(5)=5a+b,f(4)=4a+b,∵f(2),f(5),f(4)成等比数列，∴(5a+b)2=(2a+b)(4a+b).∴17a2+4ab=0,又∵a≠0.∴a=-174b①又∵f(8)=15,∴8a+b=15②联立方程①、②解得a=4,b=-17,∴f(x)=4x-17.∴f(1),f(2),…,f(n)可看作是首项为-13,公差为4的等差数列.由等差数列前n项和公式可求得Sn=-13n+2)1(nn×4=2n2-15n.点评此题渗透了函数思想，解题时要注意知识的横向与纵向之间的联系.一、选择题(9×3′＝27′)1．数列{an}是等差数列的一个充要条件是()A.Sn=an+bB.Sn=an2+bn+cC.Sn=an2+bn(a≠0)D.Sn=an2+bn2．设m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n，则m等于()A.3)1(2nnB.21n(n+4)C.21n(n+5)D.21n(n+7)3．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于()A.1B.-1C.0D.24．阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x,符号［x］表示x的整数部分，即［x］是不超过x的最大整数.函数［x］叫做“取整函数”，也叫高斯函数.它具有以下性质：x-1［x］≤x［x+1］.请回答:［log21］+［log22］+［log23］+…+［log21024］的值是()A.1024B.8202C.8204D.92165．设{an}为等比数列,{bn}为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列{cn}是1,1,2,…,则{cn}的前10项和为()A.978B.557C.467D.9796．1002-992+982-972+…+22-12的值是()A.5000B.5050C.10100D.202007．若等比数列{an}的前n项和Sn=2n+r,则r的值是()A.2B.1C.0D.-18．已知S=1+22213121n，那么S的范围是()A.(1,23)B.(23,2)C.(2,5)D.(5,+∞)9．已知数列{an}的前n项和Sn=a11)21)(1(2)21(2nnnb(n=1,2,…)，其中a,b是非零常数，则存在数列{xn}、{yn}使得()A.an=xn+yn，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列B.an=xn+yn，其中{xn}和{yn}都为等差数列C.an=xn·yn，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列D.an=xn·yn，其中{xn}和{yn}都为等比数列二、填空题(4×3′＝12′)10．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为.11．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a=,b=,c=.12．已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2-4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|=.13．数列,32161,1665,825,49,23…的前n项和Sn=.三、解答题(9′＋3×10′＋12′＋10′＝61′)14．求和：1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1.15．求和：Sn=)12)(12(7595343112nnn.16．已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2(n∈N);数列{bn}的通项bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.17．数列{an}中，a1=a，前n项和Sn构成公比为q的等比数列．(q≠1)(1)求证在{an}中，从第2项开始成等比数列；(2)当a=250，q=21时，设bn=log2|an|,求|b1|+|b2|+…+|bn|．18．已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=2an+(-1)n,n≥1.(1)求证数列{an+32(-1)n}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对任意的整数m4,有.8711154maaa19．求包含在正整数m与n间(mn)的分母为3的所有不可约分数之和.参考答案1．DSn=na1+22)1(ddnnn2+(a1-2d)n，d可以为0，对照知选D.2．Aan=n2-n.3．ASn=)(2)(21为偶为奇nnnn4．C［log2N］=101093222,1022,922,222,121,0NNNNN故原式=0+1·(22-2)+2·(23-22)+…+9·(210-29)+10=9·210-(29+28+…+2)+10=8204,故选C.5．A由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则2212dqdq∴q2-2q=0,∵q≠0,∴q=2,∴an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,∴cn=2n-1+1-n,∴Sn=978.6．B并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.7．Dr等于2n系数1的相反数-1，选D.8．B.12112312)1(132121111123)1(14313211nSnnnnSnnnS9．C由an=Sn-Sn-1=a［2-(21)n-1］-b［2-(n+1)(21)n-1］-a［2-(21)n-2］+b［2-n·(21)n-2］=-(21)n-1a+a·(21)n-2+b(n+1)·(21)n-1-bn(21)n-2=a·(21)n-2［-(21)+1］+bn(21)n-2(21-1)+b(21)n-1=(a+b)·(21)n-1-bn(21)n-1=［a+b(1-n)］(21)n-1=［a-(n-1)b］·［21·(21)n-2］而a1=S1=a［2-(21)0］-b［2-2·(21)0］=a,因此也适合上式.∴xn=a-(n-1)b,yn=21(21)n-2.选C.10．10001001设此数列{an},其中间项为a1001,则S奇=a1+a3+a5+…+a2001=1001·a1001,S偶=a2+a4+a6+…+a2000=1000a1001.11．61;21;31原式=.6326)12()1(23nnnnnn12．67.)2(52)1(2nnnan13．)211(2)1(nnnan=n+n21.14．解ak=k·［(n+1)-k］=(n+1)k-k2，∴Sn=［(n+1)·1-12］+［(n+1)·2-22］+…+［(n+1)·n-n2］=(n+1)(1+2+…+n)-(12+22+…+n2)=(n+1)·612)1(nnn(n+1)(2n+1)=6)2)(1(nnn.15．解ak=)121121(8141)12)(12(414114)12)(12(222kkkkkkkkk，∴Sn=)12(2)1()1211(814nnnnn.16．解可按如下三个层次进行:(1)由数列{an}的前n项和求an.由an=)2()1(11nSSnSnn得an=11-2n(n∈N*)(2)由an的正负确定{bn}的通项公式.易知,当n≤5时,an0,则bn=an;当n≥6时,an0,则bn=-an∴bn=)6(112)5(211nnnn(3)求数列{bn}的前n项和Tn当n≤5时,因为bn=an所以Tn=Sn=10n-n2;当n≥6时,Tn=a1+a2+a3+…+a5-(a6+a7+…+an)=2S5-Sn=50-(10n-n2)=n2-10n+50.∴Tn=.)6(5010)5(1022nnnnnn点评数列{an}与数列{|an|}很多题目都有涉及,关键是把握两者的实质联系，我们分了三个步骤以方便同学们理清思路.17．(1)证明由已知S1=a1=a，Sn=aqn-1,∴Sn-1=aqn-2，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a(q-1)qn-2．∵nnaa1=q,∴{an}是当n≥2时公比为q的等比数列．(2)解a2=S2-S1=a(q-1),∴an=.)2()1().1(2nqqaaan∴当a=250，q=21时，b1=log2|a|=50,当n≥2时，bn=log2|an|=log2|250(21-1)(21)n-2|=51-n.∴bn=51-n(n∈N)．①当1≤n≤51时，|b1|+|b2|+…+|bn|=(51-1)+(51-2)+…+(51-n)=51n-(1+2+…+n)=51n-.2)101(2)1(nnnn②当n≥52时，|b1|+|b2|+…+|bn|=(50+49+48+…+1)+［1+2+3+…+(n-51)］=2)101(2)50)(51(25150nnnn18．(1)证明由已知得an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n≥2),化简得an=2an-1+2(-1)n-1(n≥2),上式可化为an+32(-1)n=2［an-1+32(-1)n-1］(n≥2),∵a1=1,∴a1+32(-1)1=31.故数列{an+32(-1)n}是以31为首项，公比为2的等比数列.(2)解由（1）可知an+32(-1)n=321n.∴an=31×2n-1-32(-1)n=32［2n-2-(-1)n］,故数列{an}的通项公式为an=32［2n-2-(-1)n］.(3)证明由已知得maaa11154=mmmm)1(21631331151913123)1(21121121232232=)20110151311(21)21111151311(21=.871201051201041513)21(511513)21525234(21211)211(513421555mmm故)4(8711154maaam19．解方法1这些分数是.313,323,,353,343,323,313nnmmmm显然它既非等比数列也非等差数列，但如果在适当的位置上分别添上)(33,333,,333,33nnmm即成为)(33,313,323,333,,333,323,313,33nnnnmmmm(**)是一个有3n-3m+1项的等差数列，公差为31,首项是m,末项是n,其和为S=21(3n-3m+1)(m+n)而(*)是一个有n-m+1项的等差数列，公差为1,首末项分别为m,n其和S″=21(n-m+1)(m+n).故适合条件的分数和为S=S′-S″=n2-m2.方法2设S=(m+31)+(m+32)+…+(n-32)+(n-31)注意到与首末两项等距离的两项和相等，于是把上式倒序相加得:2S=.,)()()(22)(2mnSnmnmnmmn个