高考数学试卷(理工农医类)详细解答

高考数学试卷（理工农医类）详细解答考生注意：1．答卷前，考生务必讲姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共22道试题，满分150分．考试时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、函数)1(log)(4xxf的反函数)(1xf=__________。解答：1441)1(log)()()(4xfxfxxxxf反函数)(1xf=14x2、方程0224xx的解是__________解答：0120)22)(12(0224xxxxxx3、直角坐标平面xoy中，若定点)2,1(A与动点),(yxP满足4OAOP，则点P的轨迹方程是__________。解答：设点P的坐标是(x,y)，则由4OAOP知04242yxyx4、在10)(ax的展开式中，7x的系数是15，则实数a=__________。解答：7x的系数2181)(15)(33710aaaC5、若双曲线的渐近线方程为xy3，它的一个焦点是0,10，则双曲线的方程是__________。解答：由双曲线的渐近线方程为xy3，知3ab，它的一个焦点是0,10，知1022ba，因此3,1ba双曲线的方程是1922yx6、将参数方程sin2cos21yx（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。解答：4)1(22yx7、计算：112323limnnnnn=__________。解答：112323limnnnnn=38、某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________。（结果用分数表示）解答：7349155035493550159、在ABC中，若120A，AB=5，BC=7，则ABC的面积S=__________。解答：由余弦定理120cos2222ACBCACBCAB解的AC=3，因此ABC的面积4315120sin21SACAB10、函数2,0|,sin|2sin)(xxxxf的图象与直线ky有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________解答：2,,sin,0,sin3)(xxxxxf从图象可以看出直线ky有且仅有两个不同的交点时,31k11、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3aaaa。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________。解答：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为a5的边重合在一起，表面积为242a+28三棱柱有两种，边长为a4的边重合在一起，表面积为242a+32边长为a3的边重合在一起，表面积为242a+36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a+48最小的是一个四棱柱，这说明201248122824222aaa3150a12、用n个不同的实数naaa,,,21可得到!n个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n行的数阵。对第i行iniiaaa,,,21，记inniiiinaaaab)1(....32321，!,,3,2,1ni。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621bbb，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021bbb=________。解答：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，1080360536043603360236012021bbb二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。13、若函数121)(xxf，则该函数在,上是（）A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值解答：由于,12在x单调递增上大于0，所以121)(xxf单调递减，,是开区间，所以最小值无法取到，选A14、已知集合RxxxM,2|1||，ZxxxP,115|，则PM等于（）A．Zxxx,30|B．Zxxx,30|C．Zxxx,01|D．Zxxx,01|解答：RxxxM,31|ZxxxP,40|PM=Zxxx,30|，选B15、过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之123123123123123123和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解答：xy42的焦点是(1，0)，设直线方程为0)1(kxky(1)将(1)代入抛物线方程可得0)42(2222kxkxk，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是33243542222kkkk，选B16、设定义域为R的函数1,01||,1|lg|)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是（）A．0b且0cB．0b且0cC．0b且0cD．0b且0c解答：没有实数解个不同实数解有个不同实数解有,0)3(3,0)2(4,0)1()(aaaaxf0)()(2cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是方程02cbxx有两个根，一个等于0，一个大于0。此时应0b且0c。选C一、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知直四棱柱1111ABCDABCD中，12AA，底面ABCD是直角梯形，A为直角，//ABCD，4AB，2AD，1DC，求异面直线1BC与DC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）[解]17．[解法一]由题意AB//CD，BAC1是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得5AC，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，得13,3,2,90CBHBCHCHB又在1CBCRt中，可得171BC，在.17173arccos,171732cos,112121211ABCBCABACBCABABCABC中∴异而直线BC1与DC所成角的大小为.17173arccos[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1（0，1，2），B（2，4，0）),2,3,2(1BCCDBCCD与设1),0,1,0(所成的角为，则,17173arccos.17173||||cos11CDBCCDBC∴异面直线BC1与DC所成角的大小为.17173arccos18．（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程255(1)(1)2izizizi（i为虚数单位）无解．[证明]原方程化简为.31)1()1(||2iziziz设yixzx(、)Ry，代入上述方程得.312222iyixiyx)2(322)1(122yxyx将（2）代入（1），整理得.051282xx)(,016xf方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，点A、B分别是椭圆2213620xy长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF．（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．[解]．[解]（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）设点P的坐标是},4{},,6{),,(yxFPyxAPyx则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222xxxxyxxyx或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能Pyxy（2）直线AP的方程是.063yx设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是2|6|m，于是,2,66|,6|2|6|mmmm解得又椭圆上的点),(yx到点M的距离d有,15)29(94952044)2(222222xxxxyxd由于.15,29,66取得最小值时当dxx20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解：（Ⅰ）设中低价房面积形成数列na，由题意可知na是等差数列，其中1250a，50d，则,22525502)1(2502nnnnnSn令,4750225252nn即.10,,019092nnnn是正整数而∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（Ⅱ）设新建住房面积形成数列nb，由题意可知nb是等比数列，其中1400b，1.08q，则14001.08nnb，由题意可知nnba85.0，有12501504001.080.85nn，即146.81.08nn．由计算器解得满足上述不等式的最小正整数6n．所以，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．对定义域分别是fD、gD的函数()yfx、()ygx，规定：函数()()()()()fgfgfgfxgxxDxDhxfxxDxDgxxDxD当且当且当且．（1）若函数1()1fxx，2()gxx，写出函数()hx的解析式；（2）求问题（1）中函数()hx的值域；（3）若()()gxfx，其中是常数，且0,，请设计一个定义域为R的函数()yfx，及一个的值，使得()cos4hxx，并予以证明．解（1）11),1()1,(1)(2xxxxxh（2）当.21111)(,12xxxxxhx时若,4)(,1xhx则其中等号当x=2时成立，若,4)(,1xhx则其中等号当x=0时成立，∴函数),4[}1{]0,()(的值域xh（3）[解法一]令,4,2cos2sin)(xxxf则,2sin2cos)4(2cos)4(2sin)()(xxxxxfxg于是.4cos)2sin2)(cos2cos2(sin)()()(xxxxxxfxf