高考数学普通高等学校招生全国统一考试112

高考数学普通高等学校招生全国统一考试112数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。3．答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件AB、互斥，那么()()()PABPAPB如果事件AB、相互独立，那么()()()PABPAPB如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：()(1)kknknnPkCpp一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U，{2,4,5,7}A，{3,4,5}B，则()()ABUU痧（A）{1,6}（B）{4,5}（C）{2,3,4,5,7}（D）{1,2,3,6,7}（2）在等差数列na中，若0na且3764aa，5a的值为（A）2（B）4（C）6（D）8（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3450xy相切的圆的方程为（A）22(2)(1)3xy（B）22(2)(1)3xy（C）22(2)(1)9xy（D）22(2)(1)3xy（4）若P是平面外一点，则下列命题正确的是（A）过P只能作一条直线与平面相交（B）过P可作无数条直线与平面垂直（C）过P只能作一条直线与平面平行（D）过P可作无数条直线与平面平行（5）523x的展开式中2x的系数为（A）－2160（B）－1080（C）1080（D）2160（6）设函数()yfx的反函数为1()yfx，且(21)yfx的图像过点1(,1)2，则1()yfx的图像必过（A）1(,1)2（B）1(1,)2（C）(1,0)（D）(0,1)（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（A）2（B）3（C）5（D）13（8）已知三点(2,3),(1,1),(6,)ABCk，其中k为常数。若ABAC，则AB与AC的夹角为（A）24arccos()25（B）2或24arccos25（C）24arccos25（D）2或24arccos25（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040（10）若,(0,)2，3cos()22,1sin()22，则cos()的值等于（A）32（B）12（C）12（D）32（11）设11229(,),(4,),(,)5AxyBCxy是右焦点为F的椭圆221259xy上三个不同的点，则“,,AFBFCF成等差数列”是“128xx”的（A）充要条件（B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（D）既非充分也非必要（12）若,,0abc且222412aabacbc，则abc的最小值是（A）23（B）3（C）2（D）3二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。（13）已知25sin5，2，则tan。（14）在数列{}na中，若11a，12(1)nnaan，则该数列的通项na。（15）设0,1aa，函数2()log(23)afxxx有最小值，则不等式log(1)0ax的解集为。（16）已知变量x，y满足约束条件23033010xyxyy。若目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为。三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为16、13、12。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；（18）（本小题满分13分）设函数2()3cossincosfxxxxa（其中0,aR）。且()fx的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是6。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果()fx在区间5[,]36上的最小值为3，求a的值；（19）（本小题满分12分）设函数32()33fxxaxbx的图像与直线1210xy相切于点(1,11)。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）讨论函数()fx的单调性。（20）（本小题满分12分）如图，在增四棱柱1111ABCDABCD中，11,31ABBB，E为1BB上使11BE的点。平面1AEC交1DD于F，交11AD的延长线于G，求：（Ⅰ）异面直线AD与1CG所成角的大小；（Ⅱ）二面角11ACGA的正切值；（21）（本小题满分12分）已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；（22）（本小题满分12分）如图，对每个正整数n，(,)nnnAxy是抛物线24xy上的点，过焦点F的直线nFA角抛物线于另一点(,)nnnBst。（Ⅰ）试证：4(1)nnxsn；（Ⅱ）取2nnx，并记nC为抛物线上分别以nA与nB为切点的两条切线的交点。试证：112221nnnFCFCFC；普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（文史类）参考答案（1）—（12）DDCDBCCDBBAA(13)-2(14)2n–1(15)12162a（，）（）三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为16、13、12。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，所求概率为：3331111()()().6326p（Ⅱ）这是n=3，p=16的独立重复试验，故所求概率为：2233155(2)()().6672PC（18）（本小题满分13分）设函数2()3cossincosfxxxxa（其中0,aR）。且()fx的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是6。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如果()fx在区间5[,]36上的最小值为3，求a的值；解：（I）3133()cos2sin2sin(2)22232fxxxxa依题意得126322．（II）由（I）知，3()sin()32fxx．又当5[,]36x时，7[0,]36x，故1sin()123x，从而()fx在区间π5π36，上的最小值为13322a，故31.2a（19）（本小题满分12分）设函数32()33fxxaxbx的图像与直线1210xy相切于点(1,11)。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）讨论函数()fx的单调性。解：（Ⅰ）求导得'2()363fxxaxb。由于()fx的图像与直线1210xy相切于点(1,11)，所以'(1)11,(1)12ff，即：1-3a+3b=-11解得:1,3ab．3-6a+3b=-12（Ⅱ）由1,3ab得：'22()3633(23)3(1)(3)fxxaxbxxxx令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；又令f′（x）0，解得-1＜x＜3.故当x（,-1）时，f(x)是增函数，当x（3,）时，f(x)也是增函数，但当x（-1，3）时，f(x)是减函数.（20）（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，11,31ABBB，E为1BB上使11BE的点。平面1AEC交1DD于F，交11AD的延长线于G，求：（Ⅰ）异面直线AD与1CG所成角的大小；（Ⅱ）二面角11ACGA的正切值；解法一：（Ⅰ）由111//ADDGCGD知为异面直线AD与1CG所成角．（如图1）连接1CF．因为ＡＥ和1CF分别是平行平面1111ABBACCDD1和与平面AECG的交线，所以AE//1CF,由此得1113.3.DFBFFDGFDADG再由116RtCDG1111在中,由CD=1得CGD（Ⅱ）作11DHCG于H,由三垂线定理知11,FHCGDHF11故为二面角F-CG-D即二面角11ACGA的平面角.113,62RtHDGHDH11在中,由DG=3GD得.从而1113tan232DFDHFDH.解法二：（Ⅰ）由111//ADDGCGD知为异面直线AD与1CG所成角．（如图2）因为1EC和AF是平行平面11BBCD111C与平面AAD与平面AECG的交线，所以1//ECAF,由此得111111,313.4AGAECBAGAADG116RtCDG1111在中,由CD=1得CGD（Ⅱ）111146ACGACG1111在中,由CAG=,AGC=知为钝角。作111AHGCGC交的延长线于H,连接AH，由三垂线定理知1,GHAHAHA11故为二面角A-CG-A的平面角.11311,62RtAHGHH11在中,由AG=3GA得A.从而11131tan2312AAAHAAH.解法三：（Ⅰ）以1A为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x、y、z轴建立如图3所示的空间直角坐标系，于是，1(0,0,31),(1,1,0),(0,1,31),(1,0,1),ACDE1(0,1,0),(0,1,1).ADEC因为1EC和AF是平行平面11BBCD111C和AAD与平面AECG的交线，所以1//ECAF．设Ｇ（0,y,0）,则111(0,,13).//13AGyECAGy由,于是31y.故1(0,13,0),(1,3,0)GCG.设异面直线AD与1CG所成的角的大小为,则:113cos2ADCGADCG,从而.6（Ⅱ）作11AHCGH,由三垂线定理知1,GHAHAHA11故为二面角A-CG-A的平面角.设H（a,b,0）,则:11(,,0),(1,1,0)AHabCHab.由11AHCG得:110,CHCG由此得a-3b=0.……①又由11111,,//,13abHCGCHCG共线得,于是3(31)0.ab……②联立①②得:33313331,.(,)4444abH故,由2211331313()(),13442AHAA得:11131tan2312AAAHAAH.（21）（本小题满分12分）已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；解：（Ⅰ）因为()fx是奇函数，所以()fx=