高考数学普通高等学校招生全国统一考试111

高考数学普通高等学校招生全国统一考试111数学试题（理工农医类）共5页，满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题止规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）－P(A)+P(B).如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)－P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立事件重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)=(A){1,6}(B){4,5}(C){1,2,3,4,5,7}(D){1,2,3,6,7}(2)在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12,SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为（A）48(B)54(C)60(D)66(3)过坐标原点且与x2｜y24x｜2y+25=0相切的直线的方程为（A）y=-3x或y=31x(B)y=-3x或y=-31x（C）y=-3x或y=-31x(B)y=3x或y=31x(4)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l(A)平行（B）相交(C)垂直(D)互为异面直线（5）若x3x1n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为(A)-540(B)(c)162(D)540(6)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是(A)20(B)30(C)40（D）50(7)与向量a=b,21,2727,21的夹解相等，且模为1的向量是(A)53,54(B)53,54或53,54（C）31,322（D）31,322或31,322（８）将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（A）３０种（B）９０种（C）１８０种（D）２７０种（９）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是题（９）图（１０）若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为（A）3-1(B)3+1(C)23+2(D)23-2一、填空题：本大题共6小题，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上（11）复数复数2i321i的值是_________.(12)nlim12)12(312nnn_________.(13)已知,,43，sin()=－,53sin,13124则os4=________.(14)在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=_________.(15)设a＞0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1)有最大值.则不等式logn(x2-5x+7)＞0的解集为_______.(16)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___________.二、解答题：本大题共６小题，共７６分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分13分）设函数f(x)=3cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为6x.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f(x)在区间65,3上的最小值为3，求a的值.（１８）（本小题满分13分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数.求：（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）随机变量ξ的期望.（１９）（本小题满分１３分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、F分别为PC、CD的中点.（Ⅰ）试证：CD平面BEF;（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30,求k的取值范围.（20）(本小题满分13分)已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.图(19)图（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且nlimxcxf)(=4,试证：－6≤b≤2.(21)(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.(22)(本小题满分12分)已知一列椭圆Cn:x2+22nby=1.0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（Ⅰ）试证：bn≤23(n≥1);（Ⅱ）取bn＝232nn，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3(n≥3).图(２２)图（20）(本小题满分13分)已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,cR为常数.（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且nlimxcxf)(=4,试证：－6≤b≤2.(21)(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x.（Ⅰ）若f(2)-3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式.(22)(本小题满分12分)已知一列椭圆Cn:x2+22nby=1.0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（Ⅰ）试证：bn≤23(n≥1);（Ⅱ）取bn＝232nn，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3(n≥3).图(２２)图(18)(本小题13分)解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为０，１，２，３，４，５.由等可能性事件的概率公式得P(ξ=0)=2532=24332,P(ξ=1)=541532C.24380P(ξ=2)=532532C=24380,P(ξ=3)=542532C.24340P(ξ=4)=54332C=24310,P(ξ=5)=531.2431从而ξ的分布列为ξ012345P24332243802438024340243102431（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为Eξ=0×24332+１×24380+2×24380+3×24340+4×24310+5×2431=243405=35.解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.故ξ－B31,5,即有P(ξ=k)=C25b31k532,k=0,1,2,3,4,5.由此计算ξ的分布列如解法一.解法三：（Ⅰ）同解法一或解二.（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.即3Eξ=5,从而Eξ=35.（19）（本小题13分）解法一：（Ⅰ）证：由已知DF∥AB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF.又PA底面ABCD,CDAD，故由三垂线定理知CDPD.在△PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF.第（19）图１（Ⅱ）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.设AB=a,则在△PAC中，有BG=21PA=21ka.以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图２）.连结GD.因S△CBD=21BD·GH=21GB·OF.故GH=BDDFGB.在△ABD中，因为AB＝a,AD=2A,得BD=5a第（19）图２而GB=21FB=21AD-a.DF-AB,从而得GH=BDDFGB=aaa5＝.55a因此tanEHG=GHEG=.255521kaka由k＞0知EHG是锐角，故要使EHG＞30，必须k25＞tan30=,33解之得，k的取值范围为k＞.15152解法二：（Ⅰ）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而DC=(2a,0,0),BF=(0,2a,0),DC·BF=0,故DCBF.设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故第（19）３E2,,baa.从而BE=2,,0ba.DC·BE=0,故DCBE.由此得CD面BEF.（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PA＝k·AB得P(0,0,ka),E2,,kaaa,G(a,a,0).设H(x,y,0)，则GH=(x-a,y-a,0),BD=(-a,2a,0),由GH·BD=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a①又因BH=(x,a,y,0),且BH与BD的方向相同，故aax＝ay2，即2x+y=2a②由①②解得x=53a,y=54a,从而GH＝0,51,52aa，｜GH｜＝55a.tanEHG=GHEC=aKa552=k25.由k＞0知，EHC是锐角，由EHC＞,30得tanEHG＞tan,30即k25＞.33故k的取值范围为k＞15152.(20)（本小题13分）解：（Ⅰ）求导得f2(x)=［x2+(b+2)x+b+c］ex..因b2＞4(c-1),故方程f2(x)=0即x2+(b+2)x+b+c=0有两根；x1=－2)1(422cbcb＜x2=－22b.2)1(42cb令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x1；又令f′（x）＞0，解得x1＜x＜x2.故当xε（-,x1）时，f(x)是增函数，当xε（x2，+）时，f(x)也是增函数，但当xε（x1，x2）时，f(x)是减函数.（Ⅱ）易知f(0)=c,f(u)=b+c,因此ebfxfxfxexf)0()0()(lim)(lim00.所以，由已知条件得b+e=4b2≤4(e-1),因此b2+4b-12≤0.解得-6≤b≤2.(21)（本小题12分）解：（Ⅰ）因为对任意xεR，有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x，所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2.又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1