高考数学普通高等学校招生全国统一考试102

高考数学普通高等学校招生全国统一考试102本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果时间A、B互斥，那么()()()PABPAPB如果时间A、B相互独立，那么()()()PABPAPB如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率1nkkknnPkCPP球的表面积公式24SR，其中R表示球的半径球的体积公式343VR，其中R表示球的半径一、选择题⑴、已知向量ab、满足1,4,ab，且2ab，则a与b的夹角为A．6B．4C．3D．2⑵、设集合20Mxxx，2Nxx，则A．MNB．MNMC．MNMD．MNR⑶、已知函数xye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则A．22()xfxexRB．2ln2ln(0)fxxxC．22()xfxexRD．2lnln2(0)fxxx⑷、双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则mA．14B．4C．4D．14⑸、设nS是等差数列na的前n项和，若735S，则4aA．8B．7C．6D．5⑹、函数tan4fxx的单调增区间为A．,,22kkkZB．,1,kkkZC．3,,44kkkZD．3,,44kkkZ⑺、从圆222210xxyy外一点3,2P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为A．12B．35C．32D．0⑻、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosBA．14B．34C．24D．23⑼、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A．16B．20C．24D．32抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是A．43B．75C．85D．3⑽、在1012xx的展开式中，4x的系数为A．120B．120C．15D．15⑾、抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是A．43B．75C．85D．3⑿、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A．285cmB．2610cmC．2355cmD．220cm普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3．本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。⒀、已知函数1,1xfxaz，若fx为奇函数，则a________。⒁、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。⒂、设2zyx，式中变量xy、满足下列条件21xy3223xy1y则z的最大值为_____________。⒃、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。⒄、（本小题满分12分）已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。⒅、（本小题满分12分）ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。⒆、（本小题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12。（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率。⒇、（本小题满分12分）如图，1l、2l是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在1l上，C在2l上，AMMBMN。（Ⅰ）证明AB⊥NB；（Ⅱ）若60OACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值。（21）、（本小题满分12分）设P是椭圆22211xyaa短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值。（22）、（本小题满分14分）设a为实数，函数3221fxxaxax在,0和1,都是增函数，求a的取值范围。全国卷Ⅰ文答案一、选择题:1.C2.B3.D4.A5.D6.C7.B8.B9.C10.C11.A12.B二、填空题:13.1214.π315.1116.2400三、解答题:17.解:设等比数列{an}的公比为q,则q≠0,a2=a3q=2q,a4=a3q=2q所以2q+2q=203,解得q1=13,q2=3,当q1=13,a1=18.所以an=18×(13)n－1=183n－1=2×33－n.当q=3时,a1=29,所以an=29×3n－1=2×3n－3.18.解:由A+B+C=π,得B+C2=π2－A2,所以有cosB+C2=sinA2.cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=1－2sin2A2+2sinA2=－2(sinA2－12)2+32当sinA2=12,即A=π3时,cosA+2cosB+C2取得最大值为3219.解:(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只,i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只,i=0,1,2,依题意有:P(A1)=2×13×23=49,P(A2)=23×23=49.P(B0)=12×12=14,P(B1)=2×12×12=12,所求概率为:P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)=14×49+14×49+12×49=49(Ⅱ)所求概率为:P=1－(1－49)3=60472920.解法一:(Ⅰ)由已知l2⊥MN,l2⊥l1,MN∩l1=M,可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1,AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.又AN为AC在平面ABN内的射影.∴AC⊥NB（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB,∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.∵Rt△ANB≌Rt△CNB,∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.在Rt△NHB中,cos∠NBH=HBNB=33AB22AB=63.解法二:如图,建立空间直角坐标系M－xyz.令MN=1,则有A(－1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(Ⅰ)∵MN是l1、l2的公垂线,l1⊥l2,∴l2⊥平面ABN.l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是AC→=(1,1,m),NB→=(1,－1,0).∴AC→·NB→=1+(－1)+0=0∴AC⊥NB.(Ⅱ)∵AC→=(1,1,m),BC→=(－1,1,m),∴|AC→|=|BC→|,又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中,NB=2,可得NC=2,故C(0,1,2).连结MC,作NH⊥MC于H,设H(0,λ,2λ)(λ0).∴HN→=(0,1－λ,－2λ),MC→=(0,1,2).HN→·MC→=1－λ－2λ=0,∴λ=13,∴H(0,13,23),可得HN→=(0,23,－23),连结BH,则BH→=(－1,13,23),∵HN→·BH→=0+29－29=0,∴HN→⊥BH→,又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又BN→=(－1,1,0),∴cos∠NBH=BH→·BN→|BH→|·|BN→|=4323×2=6321.解:依题意可设P(0,1),Q(x,y),则|PQ|=x2+(y－1)2,又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1－y2),|PQ|2=a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2ABMNCl2l1HABMNCl2l1Hxyz=(1－a2)(y－11－a2)2－11－a2+1+a2.因为|y|≤1,a1,若a≥2,则|11－a2|≤1,当y=11－a2时,|PQ|取最大值a2a2－1a2－1;若1a2,则当y=－1时,|PQ|取最大值2.22.解:f'(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式△=4a2－12a2+12=12－8a2.(ⅰ)若△=12－8a2=0,即a=±62,当x∈(－∞,a3),或x∈(a3,+∞)时,f'(x)0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数.所以a=±62.(ⅱ)若△=12－8a20,恒有f'(x)0,f(x)在(－∞,+∞)为增函数,所以a232,即a∈(－∞,－62)∪(62,+∞)(ⅲ)若△12－8a20,即－62a62,令f'(x)=0,解得x1=a－3－2a23,x2=a+3－2a23.当x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+∞)时,f'(x)0,f(x)为增函数;当x∈(x1,x2)时,f'(x)0,f(x)为减函数.依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥3－2a2,解得1≤a62由x2≤1得3－2a2≤3－a,解得－62a62,从而a∈[1,62)综上,a的取值范围为(－∞,－62]∪[62,+∞)∪[1,62),即a∈(－∞,－62]∪[1,∞).