高考数学普通高等学校招生全国统一考试5

高考数学普通高等学校招生全国统一考试5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式：正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cossinlccS)(21台侧)]sin()[sin(21sincos其中c、c分别表示上、下底面)]cos()[cos(21coscos周长，l表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21sinsin球体的体积公式：334RV球，其中R表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设集合BAxxBxxA则|},0log|{},01|{22等于（）A．}1|{xxB．}0|{xxC．}1|{xxD．}11|{xxx或2．设5.1344.029.01)21(,8,4yyy，则（）A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y23．“232cos”是“Zkk,1252”的（）A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不．正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m//nB．若m∥n，α∩β=n，则n⊥αC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m，则α⊥β5．如图，直线022:yxl过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为（）A．51B．52C．55D．5526．若Cz且|22|,1|22|iziz则的最小值是（）A．2B．3C．4D．57．如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（）A．2B．23C．332D．218．若数列na的通项公式是,2,1,23)1(3nannnn，则)(lim21nnaaa等于（）A．241B．81C．61D．219．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A．24种B．18种C．12种D．6种10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第jijiaij其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A．kkaaaaaa2222111211B．2221212111kkaaaaaaC．2122211211kkaaaaaaD．kkaaaaaa2122122111第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为.12．函数xtgxhxxgxxf2)(|,|2)(),1lg()(2中，是偶函数.13．以双曲线191622yx右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是14．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为.三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分13分）已知函数.sincossin2cos)(44xxxxxf（Ⅰ）求)(xf的最小正周期；（Ⅱ）求)(xf的最大值、最小值.16．（本小题满分13分）已知数列na是等差数列，且.12,23211aaaa（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）令).(3Rxabnnn求数列nb前n项和的公式.17．（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论.18．（本小题满分15分）如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点.（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线A1P与AP1交于点M.求证：点M在双曲线192522yx上.19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？20．（本小题满分14分）设)(xfy是定义在区间]1,1[上的函数，且满足条件：（i）;0)1()1(ff（ii）对任意的.|||)()(|],1,1[,vuvfufvu都有（Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[xxfxx都有（Ⅱ）判断函数]1,0[,1)0,1[,1)(xxxxxg是否满足题设条件；（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数)(xfy，且使得对任意的.|)()(|],1,1[,vuvfufvu都有若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试数学试题参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1．A2．D3．A4．A5．D6．B7．C8．B9．B10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.11．312．)();(xgxf13．)4(362xy14．44三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.（Ⅰ）解：因为xxxxxf44sincossin2cos)()42cos(22sin2cos2sin)sin)(cossin(cos2222xxxxxxxx所以)(xf的最小正周期.22T（Ⅱ）解：因为),42cos(2)(xxf所以)(xf的最大值为2,最小值为－216．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设数列}{na公差为d，则,12331321daaaa又.2,21da所以.2nan（Ⅱ）解：由,323nnnnnab得,323)22(343212nnnnnS①.323)22(34323132nnnnnS②将①式减去②式，得.32)13(332)333(22112nnnnnnnS所以.32)31(31nnnnS17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分15分.（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.证法二：连结A1C1，则A1C=A1B.∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离.在Rt△ADC中，AC=2CD=.23,aADa∴所求的距离.43aACADCDDE解法二：设点D到平面ACC1的距离为x，∵体积111ACCDACDCVV.21318331112xCCaCCa,43ax即点D到平面ACC1的距离为a43.（Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.（Ⅰ）解：由图可知,.3ab,4,522cca所以该椭圆的方程为,192522yx准线方程为.425x（Ⅱ）证明：设K点坐标)0,(0x,点P、P1的坐标分别记为),(),,(0000yxyx，其中,500x则,19252020yx……①直线A1P，P1A的方程分别为：),5()5(00xyyx……②).5()5(00xyyx……③②式除以③式得,555500xxxx化简上式得,250xx代入②式得,500xyy于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为).5,25(000xyx因为.1)251(2525)5(91)25(25120202020020xxxxyx所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线上192522yx.19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为.146)4(3)12()25(2)(222yyyyf所以，当4y时，函数)(yf取得最小值.答:点P的坐标是).4,0(（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为.|12|25|,12||,12|25,25)(222yyyyyyxg当当由|12|252yy解得,24119y记,24119*y于是.|,12|,,25)(**2yyyyyyxg当当因为225y在[),*y上是增函数，而]y,(-|12|*在y上是减函数.所以*yy时,函数)(yg取得最小值.答:点P的坐标是);24119,0(解法二：P至三镇的最远距离为.|12|25|,12||,12|25,25)(222yyyyyyxg当当由|12|252yy解得,24119y记,24119*y于是.|,12|,,25)(**2yyyyyyxg当当函数)(ygx的图象如图)(a，因此，当*yy时，函数)(yg取得最小值.答:点P的坐标是);24119,0(解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13,且，(b).,4,51222如图ACBOCOCAC所以△ABC的外心M在线段AO上,其坐标为)24119,0(,且AM=BM=CM.当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.答:点P的坐标是);24119,0(20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[x时，有,1|1||)1()(|