高考数学基本初等函数复习

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座4）—基本初等函数一．课标要求1．指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．知道指数函数xay与对数函数xyalog互为反函数（a＞0，a≠1）。二．命题走向指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。预测对本节的考察是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。三．要点精讲1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n次方等于),1(Nnna且，则这个数称a的n次方根。即若axn，则x称a的n次方根)1Nnn且，1）当n为奇数时，na的次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan。②性质：1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；3）当n为偶数时，)0()0(||aaaaaan。（2）．幂的有关概念①规定：1）naaaan(N*；2）)0(10aa；n个3）paapp(1Q，4）maaanmnm,0(、nN*且)1n。②性质：1）raaaasrsr,0(、sQ）；2）raaasrsr,0()(、sQ）；3）rbababarrr,0,0()(Q）。（注）上述性质对r、sR均适用。（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数。1）以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）01loga；3）1logaa；4）对数恒等式：NaNalog。③运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则1）NMMNaaaloglog)(log；2）NMNMaaalogloglog；3）nMnMana(loglogR）。④换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma1）1loglogabba；2）bmnbanamloglog。2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数。②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时，图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的)1,0(aaa且，函数xxayay与的图象关于y轴对称。③函数值的变化特征：10a1a①100yx时，②10yx时，③10yx时①10yx时，②10yx时，③100yx时，（2）对数函数：①定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，1）函数的定义域为),0(；2）函数的值域为R；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数；4）对数函数xyalog与指数函数)1,0(aaayx且互为反函数。②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴）；4）对于相同的)1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。③函数值的变化特征：10a1a①01yx时，②01yx时，③010yx时.①01yx时，②01yx时，③100yx时.四．典例解析题型1：指数运算例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(；（2）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(922)2917(21]1024251253794[；（2）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2．已知11223xx，求22332223xxxx的值。解：∵11223xx，∴11222()9xx，∴129xx，∴17xx，∴12()49xx，∴2247xx，又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx，∴223322247231833xxxx。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算例3．计算（1）2(lg2)lg2lg50lg25；（2）3948(log2log2)(log3log3)；（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23。解：（1）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5(11)lg22lg52(lg2lg5)2；（2）原式lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3()()()()lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg23lg25lg352lg36lg24；（3）分子=3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg2；分母=41006lg26lg101100036lg)26(lg；原式=43。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例4．设a、b、c为正数，且满足222abc新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求证：22log(1)log(1)1bcacab；（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。证明：（1）左边222logloglog()abcabcabcabcabab22222222222()22loglogloglog21abcaabbcabccababab；解：（2）由4log(1)1bca得14bca，∴30abc……………①由82log()3abc得2384abc………………………②由①②得2ba……………………………………③由①得3cab，代入222abc得2(43)0aab，∵0a，∴430ab………………………………④由③、④解得6a，8b，从而10c。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指数、对数方程例5．设关于x的方程bbxx(0241R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。解：（1）原方程为124xxb，11)12(22)2(24221xxxxx，),1[b当时方程有实数解；（2）①当1b时，12x，∴方程有唯一解0x；②当1b时，bbxx1121)12(2.bbxx112,011,02的解为)11(log2bx；令,0111011bbbbbx112,01时当的解为)11(log2bx；综合①、②，得1）当01b时原方程有两解：)11(log2bx；2）当10bb或时，原方程有唯一解)11(log2bx；3）当1b时，原方程无解。点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。例6．（2006辽宁文13）方程22log(1)2log(1)xx的解为。解：考察对数运算。原方程变形为2)1(log)1(log)1(log2222xxx，即412x，得5x。且0101xx有1x。从而结果为5。点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4：指数函数的概念与性质例7．设1232,2()((2))log(1)2.xexfxffxx＜，则的值为，（）A．0B．1C．2D．3解：C；1)12(log)2(23f，eeff22))2((10。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。例8．已知)1,0()(log1aaxxxfa且试求函数f(x)的单调区间。解：令txalog，则x=ta，t∈R。所以taatf)(即xxaaxf)(，（x∈R）。因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞）上的单调性。任取1x，2x，且使210xx，则)()(12xfxf)()(1122xxxxaaaa212121)1)((xxxxxxaaaa（1）当a1时，由210xx，有210xxaa，121xxa，所以0)()(12xfxf，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。（2）当0a1时，由210xx，有210xxaa，121xxa，所以0)