高考数学函数的应用测试

专题考案(1)函数板块第5课函数的应用(时间：90分钟满分：100分)题型示例已知线段AB=2l，在其上作一点C，欲使以AC，BC为边的两正三角形面积的和最小，问C点应取在何处？分析1设AC=x,两个正三角形的面积可化为x的二次函数.解设两个正三角形面积分别为S1和S2，如图1所示，设AC=x,S1=43x2,S2=43(2l-x)2,∴S=S1+S2=43［(2l-x)2+x2］=23x2-3lx+3l2,用二次函数顶点坐标公式求得：当x=ab2=2323l=l时，Smin=abac442=23l2.所以当C点在AB中点时，S最小.分析2由上面得S=23x2-3lx+3l2,用配方法求出S的最小值.解由S=23x2-3lx+3l2,配方可得S=23(x-l)2+23l2,显然当x=l时，S取得最小值,Smin=23l2.故当C点在AB中点时，S取得最小值.点评本题通过二次函数建立模型，来找到两个三角形面积和的关系.从以上解析可以看出，本问题实质是已知三角形的边求其面积问题，其关键在于找出边与面积的函数关系，这也是解决有关面积问题的最重要的一环.一、选择题(8×4′＝32′)1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是()Ay=2x(x∈N*)B.y=2x(x∈N*)C.y=2x+1(x∈N*)D.y=log2x(x∈N*)2．一种产品的成本原来为a元，计划在今后m年内使成本平均每年比上一年降低P%，则成本y与经过的年数x的函数关系式为()A.y=a(1-P%)xB.y=a(P%)xC.y=a-(P%)xD.y=a(1＋P%)x3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是()A.x22%B.x22%C.x=22%D.x的大小由第一年的产量确定4．拟定从甲地到乙地通话mmin的电话费由f(m)=1.06(0.5×［m］+1)给出，其中m0,［m］是大于或等于m的最小整数(如［3］=3,［3.7］=4,［3.1］=4),则从甲地到乙地通话时间为5.5min的话费为()A.3.71B.3.97C.4.24D.4.775．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为()图1A.每个110元B.每个105元C.每个100元D.每个95元6．对广东省某县农村抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率49%，电视机拥有率85%，洗衣机拥有率44%，至少拥有上述三种家用电器中两种以上的占63%，三种电器齐全的占25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为()A.35%B.10%C.15%D.资料不全，难以判断7．某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时情况比较，商店赢利情况是()A.多赚约6元B.少赚约6元C.多赚约2元D.赢利相同8．对于函数f(x)和g(x)，其定义域均为［a,b］，若对任意的x∈［a,b］，总有101)()(1xfxg，则称f(x)可被g(x)置换，那么下列给出的函数中能置换f(x)=x(4≤x≤16)的是()A.g(x)=51(x+6)(4≤x≤16)B.g(x)=x2+6(4≤x≤16)C.g(x)=x+6(4≤x≤16)D.g(x)=2x+6(4≤x≤16)二、填空题(4×4′＝16′)9．已知A、B两地相距150ｋｍ，某人开汽车以60ｋｍ／ｈ的速度从A地到达B地，在B地停留1h后再以50ｋｍ／ｈ的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是.10．现有含盐7%的食盐水200ｇ，要将它制成工业生产上需要的含盐在5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水xｇ，则x的取值范围是.11．某卡车在同一时间段里速度v(km/h)与耗油量θ(kg/h)之间有近似的函数关系式:θ=0.0025v2-0.175v+4.27,则车速为km/h时,卡车的耗油量最少.12．若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是.三、解答题(4×10′＋12′＝52′)13．运货卡车以xkm/h的速度匀速行驶130km，按交通法规限制速度为50≤x≤100(单位：km/h).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+3602x)L，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.(取10≈3.16)14．现有直径为d的圆木，要把它锯成横截面为矩形的梁，从材料力学知道，横截面为矩形的木梁的强度Q与梁宽和梁高的平方的乘积成正比.问如何截法才能使梁的强度最大?15．政府收购某种农产品的原价格是200元/担，其中征税标准为每100元征10元(叫税率为10个百分点，即10%)，计划可收购a万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式.(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划税收的83.2%，试确定x的范围.16．我国是一个水资源比较贫乏的国家，各地常采用价格调控等手段来达到节约用水的目的.已知某市的用水收费公式是：水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量am3,只付基本费8元和每户每月的固定损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费，已知损耗费c不超过5元.该市某家庭今年1~6月份的用水量和1~3月份的水费如下表：月份一月二月三月四月五月六月用水量/m39152225831水费/元91933请根据上面表格的数据，分别计算该家庭4~6月份的水费.17．设P=2,21，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q．(1)若方程log2(ax2-2x+2)=2在P内有解，求实数a的范围；(2)若P∩Q≠，求实数a的范围．参考答案1．B从第二年开始，每年的细胞数是前一年的2倍.2．A成本每年比上一年降低P%，即每年是上一年的(1-P%)倍.3．B设第一年的产量为A，则第三年的产量为A(1+x)2，依题意A(1+x)2=A(1+44%)，即(1+x)2=1+44%1+2xx22%.4．Cf(5.5)=1.06(0.5×［5.5］+1)=4.24.5．D设该商品每个涨价a元，则利润y=(90+a-80)(400-20a)(a=0,1，2,…)，即y=20(a+10)(20-a)=-20(a-5)2+4500，∴a=5即定价为95元时，y有最大值.6．B至少有一种家用电器的用户占［49+85+44-(63+25)］%=90%,故一种家用电器也没有的用户占10%.7．B设A、B两种商品的原价为a、b，则a(1+20%)2=b(1-20%)2=23a=362523,b=162523，a+b-46≈6元.8．A4≤x≤16，)6(511)6(511xxxx．由y=t+t6的单调性知26≤x+x6≤521，51562(x+x6)≤1011∴)6(511xx≤101.9．x=)5.3(5015015060tt10．100x4005%xx200%4%72006%，解得100x400.11．35将已知函数配方得θ=0.0025(v-35)2+1.2075,∴v=35时θ最小.12．(-∞，2-22)设t=2x,则t2+at+a+1=0有正根．(0x≤2.5)(2.5≤t≤3.5)(3.5t≤6.5)由Δ=a2-4(a+1)≥0a≥2+22或a≤2-22.a≥2+22时，t1+t2=-a0，t1t2=a+10无正根．a≤2-22时，t1+t2=-a0，必有正根．13．解(1)设所用时间为t=x130(h),y=x130×2×(2+3602x)+x13014,x∈［50,100］.所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y=360130218130xx,x∈［50,100］,即y=8132340xx,x∈［50,100］.(2)y=360130218130xx≥2610≈82.16(元),当且仅当360130218130xx,即x=1810≈56.88时，上述不等式中等号成立.答:当x约为56.88km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用约为82.16元.14．解引入自变量建立目标函数，设梁宽为x,则高为22xd,(如图3所示)∴Q=kx(d2-x2)=k932)32(22))((3222222dkxdxdxkd3当2x2=d2-x2,即x=33d时,取得最大强度.此时高22xd=d.点评引入自变量，建立目标函数，是解决最值问题的重要方法，此法的关键是引入适当的自变量，对变量有两点要求:①容易建立目标函数;②函数最值易求.15．解(1)调节后的税率为(10-x)%，预计可收购a(1+2x%)万担，总金额200a(1+2x%)万元.依题意y=200a(100+2x)(10-x)×10-4=501a(100+2x)(10-x)(0x10).(2)原计划税收为200a×10%=20a万元，依题意有a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%，整理得x2+40x-84≤0-42≤x≤2，又x0，∴0x≤2.16．解设每月用水量为xm3时，水费为y元，依题意y=.,)(8,0,8axcaxbaxc因0c≤5,所以88+c≤13,由表格数据知，第二、三月份的水费均大于13元，故用水量都大于最低限量am3,从而有)(192233)22(819)15(8cabcabcab如果一月份的用水量也超过最低限量，则8+2(9-a)+c=9,即2a=c+17这与（*）矛盾，故一月份的用水量未超过最低限量.故c+8=9c=1,由此得a=10,b=2,c=1.从而可计算4~6月份的水费分别为39元，9元，51元.图317．解(1)由log2(ax2-2x+2)=2得ax2-2x+2=4.ax2-2x-2=0在［21，2］内有解．∴a=2(x1+21)2-21,∵21≤x1≤2，∴23≤a≤12.(2)∵P∩Q≠，∴在［21，2］上至少有一个值使ax2-2x+20成立．∵21≤x≤2，∴a222xx，又-4≤222xx≤21.∴a-4即为所求．