高考数学函数的性质测试

专题考案(1)函数板块第2课函数的性质(时间：90分钟满分：100分)题型示例已知函数f(x)是在R上的偶函数，且满足f(x+1)+f(x)=1,当x∈［1,2］时，f(x)=2-x，则f(-2004.5)的值为()A.0.5B.1C.1.5D.-1.5分析∵函数f(x)是R上的偶函数，∴f(-x)=f(x).由f(x+1)+f(x)=1,得f(-x+1)+f(-x)=1，故f(x+1)=f(1-x),所以函数f(x)关于x=1对称.又由函数f(x)是在R上的偶函数，故函数f(x)又关于y轴对称，由此作图，如图所示可得f(-2004.5)=0.5,故选A.答案A点评本题主要考查函数的周期性、奇偶性.利用数形结合的方法可迅速解决问题.一、选择题(8×3′＝24′)1．函数y=x2+bx+c［x∈［0,+∞)］是单调函数的充要条件是()A.b≥0B.b≤0C.b0D.b02．函数f(x)=4x2-mx+5在区间［-2,+∞)上是增函数，M=f(1)，则下列不等式或等式成立是()A.M≥25B.M=25C.M≤25D.M253．定义在R上的函数f(x)、g(x)都有反函数,且f(x+1)和g-1(x-2)的图象关于直线y=x对称，若g(15)=2000,则f(16)的值为()A.1999B.2000C.2001D.20024．函数f(x)=x-2axa在(1，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.a≥0B.a≥1C.a≥-2D.a≥-15．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),f(1-x)=f(1+x),且在［-1,0］上单调递增.设a=f(3),b=f(),c=f(2),则a、b、c的大小关系是()A.abcB.acbC.bcaD.cba6．函数y=f(x)有反函数y=f－1(x)，把y=f(x)的图象在直角坐标平面内绕原点顺时针方向转动90°后得到的图象对应的函数是()A.y=f－1(-x)B.y=f－1(x)C.y=-f－1(-x)D.y=-f－1(x)7．定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈［3,5］时，f(x)=2-|x-4|,则()A.6cos6sinffB.f(sin1)f(cos1)C.)32(sin32cosffD.f(cos2)f(sin2)8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=(31)x，那么f－1(-9)的值是()A.-2B.2C.-3D.3二、填空题(5×3′＝15′)9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且它在［0+∞］上单调递增，那么使不等式f(-2)≤f(a)的实数a的取值范围是.10．函数f(x)=logcos50°|x2-2x-3|的增区间为.11．关于函数f(x)=lg||12xx(x≠0),有下列命题：①函数y=f(x)的图象关于y轴对称;②当x0时，f(x)是增函数，当x0时，f(x)是减函数;③函数f(x)的最小值为lg2;④当-1x0或x1时，f(x)是增函数;⑤f(x)无最大值，也无最小值.其中正确的命题是.12．函数f(x)=x(α为常数)的图象过点(4,21),那么f-1(8)的值是.13．函数f(x)=loga(x+12x)(x≥1)(0a1)的反函数是f－1(x)=.三、解答题(5×10′＝50′)14．已知关于n的不等式32)1(log121212111annna对一切大于1的自然数n都成立,试求实数a的取值范围.15．f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且f(yx)=f(x)-f(y).(1)求f(1)的值.(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(x1)2.16．已知函数f(x)=(11xx)2(x≥1)，f－1(x)是f(x)的反函数，记g(x)=xxf)(11+2，求：(1)f－1(x)的定义域与单调区间.(2)g(x)的最小值.17．设偶函数f(x)在区间［a,b］上是增函数(a0)，试判定函数F(x)=(21)f(x)-x在区间［-b,-a］上的单调性，并加以证明.18．给定函数f(x)=loga|logax|(a0且a≠1).(1)求函数的定义域.(2)当f(x)1时，求x的取值范围.(3)当x1时，判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论.四、思考与讨论(11′)19．设a0,f(x)=xxeaae是R的偶函数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+∞)上为增函数.参考答案1．A函数y=x2+bx+c的单调增区间是［-2b,+∞).∵所求函数的定义域为x∈［0,+∞),∴此函数单调的充要条件是-2b≤0b≥0.2．A依题意，8m≤-2m≤-16，则M=f(1)=9-m≥25.3．D设y=g-1(x-2)，由反函数的概念得x=g(y)+2,即y=g-1(x-2)的反函数为y=g(x)+2,从而f(x+1)=g(x)+2.当x=15时，f(16)=g(15)+2=2002.故选D.4．D由单调性的定义即得.5．D由f(x-1)=f(x+1)可推出f(x+2)=f(x),即f(x)以2为一个周期.a=f(3)=f(1)=f(-1),b=f(2)=f(2-2)c=f(2)=f(0),又∵f(x)在［-1,0］上单调递增,∴cba.6．Ｄ设(x,y)是y=f(x)图象上任意一点，当把y=f(x)的图象绕原点顺时针方向转动90°后其对应点为(X,Y)，则X＋9i=(x+yi)·(-i)=y-xi，故y=X,x=-Y,于是X=f(-Y)-Y=f-1(X)即y=-f－1（x）.7．D∵f(x)=f(x+2),∴F=2是其一个周期.设x∈［-1,1］,则x+4∈［3,5］,f(x)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|其图象如图所示.A:0sin6cos61,∴6cos6sinffB:0cos1sin11,∴f(sin1)f(cos1)C:cos),23(32sin),21()21(32cos,2332sin,2132fffff32sin32cos:)23()21(fff即，D:cos2=sin22,∴f(cos2)=f22sin22sinfsin2=sin(π-2),∵1sin(π-2)sin220∴22sinff［sin(π-2)］,即:f(cos2)f(sin2)故正确答案是D.8．Ｂ当x0时，f(x)=-(31)-x，设f-1（-9）=a，则f(a)=-9-(31)－a=-9a=2.9．a≤-2或a≥2f(-2)≤f(a)f(|-2|)≤f(|a|)|a|≥2.10．(-∞,-1)，［1,3］作函数u(x)=|x2-2x-3|的图象判断.11．①③④f(x)是偶函数，且f(x)=lg(|x|+||1x)≥lg2，可由f(x)的奇偶性确定单调区间，即先判断出f(x)在(0，+∞)上的单调性.12．641将(4,21)代入f(x)=x,得21=4,∴α=24214loglog,∴f(x)=2124logxx=8得x=641.13．21(ax+a-x)(x≤0)注意注明反函数的定义域.14．解设f(n)=nnn212111(n∈N且n≥2),∵f(n+1)-f(n)=)22)(12(111221121nnnnn0,∴f(n)是关于n的单调增函数，且当n≥2时,f(n)≥f(2)=1274131,故要使f(n)121loga(a-1)+32对一切n≥2,n∈N恒成立,则需且仅需121127loga(a-1)+32,即loga(a-1)-1,又a-10,∴0a-1a1,解得1a251.故所求a的取值范围为{a|1a251}.点评利用函数的单调性求参数的取值范围.15．解(1)令x=y,得f(1)=0.(2)由0103xx，得x0.由f(6)=1及f(x+3)-f(x1)2，得f［x(x+3)］2f(6)，即f［x(x+3)］-f(6)f(6)，即f6)3(xxf(6).∵f(x)在(0，+∞)上递增，∴6)3(xx6且x0，解得0x23173.16．解(1)∵x≥1,∴0≤11xx10≤(11xx)21.∴0≤y1,且11xx=yx=yy11.∴f－1（x）=xx11(0≤x1).原函数递增，f-1(x)也递增．(2)g(x)=.22)1)(12(2112211xxxxxxx当且仅当1+2x即x=3-22∈［0,1］时取“＝”.∴g(x)的最小值为22.17．解∵f(x)是偶函数且在区间［a,b］上单调递增(a0)，∴f(x)在区间［-b,-a］上单调递减，f(x)-x在［-b,-a］上也单调递减，故F(x)=(21)f(x)-x在［-b,-a］上单调递增.证明(略)(提示:作商)()(12xFxF与1比较大小).18．解(1)由|logax|≠0，知函数的定义域为(0，1)∪(1,).(2)由loga|logax|1，则当0a1时，0|logax|a，解得x∈(aa,1)∪(1,a-a)；当a1时，|logax|a，解得x∈(0,a-a)∪(aa,+∞).(3)任取1x1x2,则f(x2)-f(x1)=loga12loglogxxaa=loga|logx1x2|.又logx1x2logx1x1=1|logx1x2|1，∴当0a1时，f(x2)-f(x1)0，故f(x)在(1，＋∞)单调递减；当a1时,f(x2)-f(x1)0，故f(x)在(1，+∞)单调递增.19．(1)解因为f(x)=xxeaae是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x).取x=1,则f(-1)=f(1),即aeeaeaea1,所以1+e2a2=e2+a2,所以(1-e2)(1-a2)=0,所以1-a2=0,又a0故a=1.(2)证明因为a=1,所以f(x)=ex+xe1,任取x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,则212122112111)(11)()(xxxxxxxxeeeeeeeexfxf=2121212112211)()(xxxxxxxxxxxxeeeeeeeee.由x1,x2∈(0,+∞)知ex1+x2-10,由x1x2知ex1-ex20,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.