高考数学第一次联合模拟考试

第Ⅰ卷(选择题共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=2sin(2x＋π6)＋1的最小正周期是()A.π4B.π2C.πD.2π2.在复平面内,复数1＋i(1－i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数y=f(x)与函数y=log2x的图象关于直线x=0对称,则()A.f(x)=－2xB.f(x)=2xC.f(x)=log2(－x)D.f(x)=－log2x4.设α、β是两个不同平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题正确的是()A.若m∥n,且m⊥α,n⊥β,则α∥βB.若mα,nβ,且α∥β,则m∥nB.若m、nα,且m∥β,n∥β,则α∥βD.若α⊥β,mα,nβ,则m⊥n5.已知向量a→=(x2,y5),向量b→=(x2,－y5),曲线a→·b→=1上一点P到F(3,0)的距离为6,Q为PF的中点,O为坐标原点,则|OQ|=()A.1B.2C.5D.1或56.已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列,则有()A.a4a6a6a8B.a4a6≤a6a8C.a4a6a6a8D.a4a6≥a6a87.若(xx－1x)6的展开式中的第五项等于152,则n→∞lim(1x＋1x2＋1x3＋…＋1xn)=()A.1B.12C.13D.14高考数学第一次联合模拟考试数学试卷(理科)8.设f(x)=cosx－sinx把f(x)的图象按向量a→=(m,0)(m0)平移后,图象恰好为函数y=－f'(x)的图象,则m的值可以为()A.π4B.π2C.3π4D.π9.抛物线y2=ax(a≠0)的准线与x轴交于点P,直线l经过点P,且与抛物线有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.[0,π4]B.[0,π4]∪[3π4,π)C.[π4,3π4]D.[π4,π2]∪(π2,3π4]10.正三棱锥底面边长为a,侧棱与底面成角为60°,过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角,则此截面的面积为()A.34a2B.33a2C.13a2D.38a211.定义在R上的函数y=f(x)满足:f(－x)=－f(x),f(1＋x)=f(1－x),当x∈[－1,1]时,f(x)=x3,则f(2007)的值是()A.－1B.0C.1D.212.对于任意的x∈R,不等式2x2－ax2＋1＋30恒成立,则实数a的取值范围是()A.a22B.a≤22C.a3D.a≤3第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。13.函数y=ex＋1的反函数是_________14.已知平面区域D是由以A(1,3),B(2,0),C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成,若目标函数z=ax＋y(a0)在区域D内仅在点(2,0)处取得最小值,则a的取值范围为_______15.一名同学想要报考某大学,他必须从该校的7个不同专业中选出5个,并按第一志愿,第二志愿,…,第五志愿的顺序填进志愿表,若A专业不能作为第一,第二志愿,则他共有______种不同的填法(用数字作答)16.下列四个命题:①圆(x＋2)2＋(x＋1)2=4与直线x－2y=0相交,所得弦长为2;②直线y=kx与圆(x－cosθ)2＋(y－sinθ)2=1恒有公共点;③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的的表面积为108π.④若棱长为2的正四面体的顶点都在同一球面上,则该球的体积为32π.其中,下确命题的序号为_________(写出所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m→=(1,1－3sinA),n→=(cosA,1)且m→⊥n→.(1)求角A;(2)若b＋c=3a,求sin(B＋π6)的值.18.(本小题满分12分)在一次语文测试中,有道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演度》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目,每连对一个得3分,连错不得分,一位同学该题得ξ分.(1)求该同学得分不少于6分的概率;(2)求ξ的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图正三棱柱ABC－A1B1C1中,底面边长为a,侧棱长为22a,若经过AB1且与BC1平行的平面交上底面于D点.(1)试确定点D的位置,并证明你的结论;(2)求二面角A1－AB1－D的大小20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xx＋3,数列{an}满足a1=1,an＋1=f(an)(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=12anan＋1·3n,Sn=b1＋b2＋…＋bn,求Sn.21.(本小题满分12分)椭圆C中心为坐标原点O,焦点在y轴上,焦点到相应的准线的距离以及离心率均为22,直线l与y轴交于点P(0,m)与椭圆O交于相异两点A、B,且AP→=λPB→.(1)求椭圆方程;(2)若OA→＋λOB→=4OP→,求m的取值范围.A1B1C1ABC22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax－x(a1)(1)求函数f(x)的最小值,并求最小值小于0时a的取值范围.(2)令S(n)=Cn1f'(1)＋Cn2f'(2)＋…＋Cnn－1f'(n－1),证明:S(n)(2n－2)·f'(n2)参考答案1.C2.B3.C4.A5.D6.B7.A8.B9.B10.D11.A12.C13.y=lnx－1(x0)14.(0,3)15.180016.②④17.解:(1)∵m→⊥n→,∴m→·n→=0,∴cosA＋1－3sinA=03sinA－cosA=1,sin(A－π6)=12.∵0Aπ,∴－π6A－π65π6,∴A－π6=π6,∴A=π3(2)∵b＋c=3a,∴由正弦定理得:sinB＋sinC=3sinA=32∵B＋C=2π3,∴sinB＋sin(2π3－B)=32,32cosB＋32sinB=32即sin(B＋π6)=3218.解:(1)ξ的可能取值为0,3,6,12P(ξ=12)=1A44=124,P(ξ=6)=C42A44=624=14该同学得分不少于6分的概率为P=P(ξ=6)＋P(ξ=12)=724(2)P(ξ=3)=C42×2A44=824,P(ξ=0)=1－124－624－824=924ξ的分布列为:数学期望:Eξ=0×924＋3×824＋6×624＋12×124=319.解:(1)D为A1C1的中点,(D也可以是△A1B1C1的边A1C1中线上任一点).连结A1B与AB1交于E.则E为A1B的中点,DE为平面ABB1A1D与平面A1BC1的交线,∵BC1∥平面AB1D,∴BC1∥DE,∴D为为A1C1的中点(2)过D作DF⊥A1B于F,由正三棱柱的性质,AA1⊥DF,∴DF⊥平面ABB1,连结EF,DE,在正三角形A1B1C1中,∵D是A1C1的中点,∴B1D=32A1B1=32a,又在直角三角形AA1D中,∵AD=AA12＋A1D2=32a,∴AD=B1D,∴DE⊥AB1,∴可得EF⊥AB1,则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角.可求得DF=34a∵△B1FE∽△B1AA1,得EF=34a∴∠DEF=π4,即为所求.20.解:(1)由已知:an＋1=anan＋3,∴1an＋1=3an＋1,∴1an＋1+12=3(1an＋12),并且1a1＋12=32∴数列{1an＋12}为以32为首项,3为公比的等比数列ξ03612P381314124A1B1C1ABCEFD∴1an＋12=32·3n－1,∴an=23n－1(2)bn=2·3n(3n－1)(3n＋1－1)=13n－1－13n＋1－1∴Sn=b1＋b2＋…＋bn=13－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n－1－13n＋1－1=12－13n＋1－121.解:(1)设y2a2＋x2b2=1(ab0),设c0,c2=a2－b2,由条件知:a2c－c=b2c=22,∴a=1,b=c=22故C的方程为:y2＋x212=1(2)由AP→=λPB→得OP→－OA→=λ(OB→－OP→)∴(1＋λ)OP→=OA→＋λOB→∴1＋λ=4,λ=3,设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)y=kx＋m2x2＋y2=1得(k＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)=0△=(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)=4(k2－2m2＋2)0(*)x1＋x2=－2kmk2＋2,x1x2=m2－1k2＋2∵AP→=3PB→∴－x1=3x2,∴x1＋x2=－2x2,x1x2=－3x22,再消去x2,得3(x1＋x2)2＋4x1x2=0,∴3(－2kmk2＋2)2＋4m2－1k2＋2=0整理得4k2m2＋2m2－k2－2=0m2=14时,上式不成立,m2≠14时,k2=2－2m24m2－1由(*)式得k22m2－2因λ=3,∴k≠0,∴k2=2－2m24m2－10,∴－1m－12,或12m1即所求m的取值范围为(－1,－12)∪(12,1)22.(1)由f'(x)=axlna－1f'(x)0即:axlna1,∴ax1lna,又a1,∴x－logalna同理:f'(x)0,有x－logalna所以f'(x)在(－∞,－logalna)上递减,在(－logalna,＋∞)上递增,所以f(x)max=f(－logalna)=1＋ln(lna)lna,若f(x)max0,即1＋ln(lna)lna0,则ln(lna)－1,∴lna1a∴a的取值范围是1a1ae(2)S(n)=Cn1(alna－1)＋Cn2(a2lna－1)＋…＋Cnn－1(an－1lna－1),=(Cn1a＋Cn2a2＋…＋Cnn－1an－1)lna－(Cn1＋Cn2＋…＋Cnn－1)=12[Cn1(a＋an－1)＋Cn2(a2＋an－2)＋＋Cnn－1(an－1＋a)]lna－(2n－2)≥2(22)ln(22)nnnaa=2(22)(ln1)(22)'()2nnnnaaf∴不等式成立.