高考数学猜题

图1高考数学猜题1、（一中）如图1，过椭圆)0(12222babyax的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.（1）求椭圆1522yx的“左特征点”M的坐标；（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆)0(12222babyax的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.解析：（1）设)0,(mM为椭圆1522yx的左特征点，椭圆的左焦点为)0,2(F，可设直线AB的方程为)0(2kkyx.并将它代入1522yx得：55)2(22yky，即014)5(22kyyk.设),(),,(2211yxByxA，则51,54221221kyykkyy，∵AMB被x轴平分，∴0BMAMkk.即0)()(,012212211mxymxymxymxy.即0)()2()2(211221myykyykyy.∴0)2)((22121myyyky.于是0)2(54)51(222mkkkk.∵0)2(21,0mk，即)0,25(,25Mm.（2）对于椭圆cacbayx22225,2,1,5,15.于是猜想：椭圆12222byax的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点.证明：设椭圆的左准线l与x轴相交于M点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为C，D.据椭圆第二定义：,,BDACBFAFBDBFACAF即∵,////BDFMAC.DMCMBFAF于是,DMCMBDAC即DMBDCMAC.∴BMDAMCtantan，又BMDAMC与均为锐角，∴BMDAMC，∴BMFAMF.∴AMBMF为的平分线.故M为椭圆的“左特征点”.说明：近年高考关于圆锥曲线的解答题常作为把关题或压轴题，综合考查考生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力.本题背景新颖，而且考查了《考试大纲》所要求的研究性学习能力，是一道压轴题水平的综合能力题.2、（一中）如图2，已知过原点O，从x轴正方向出发逆时针旋转240°，得到射线t，点),(yxA在射线t上)0,0(yx，设2OA，又知点),(yxB在射线)0(0xy上移动，设P为第三象限内的动点，若0BOPB且PBPA，APAO21，2AB成等差数列.（1）求P点的轨迹方程；（2）已知点P的轨迹为C，直线l的斜率为21，若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，交线MN的中点为Q，求点Q的横坐标的取值范围.解析：（1）设)0,0)(,(yxyxP，xPBBOPB,0轴，)0,(xB.又2OA，)3,1(A，则)3,1(yxPA，),0(yPB，)3,1(AO，)3,1(yxAP，3)1(22xAB.23)()3(yyyyPBPA，2232)]3(3)1[(2121yxyxAPAO.由2,21,ABAPAOPBPA成等差数列得：2)21(2ABPBPAAPAO.3)1(34322xyyyx，即)0,0(022yxxyx.P点的轨迹方程为)0,0(022yxxyx.（2）设直线l的方程为)0(21bbxy，图2),(),,(2211yxNyxM，),(00yxQ，由.0,2122xyxbxy得0)1(4522bxbx.如图所示，当0124454)1(222bbbb时，直线l与圆相切，此时451b，注意到0b，则当451b时，l与圆相切.结合图形得.0451b又)1(522210bxxx，1055520x.即Q点的横坐标的取值范围为)1055,52(.说明：向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数，形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.本题将向量与解析几何、数列、方程、不等式以及数形结合思想等有机结合，体现了《考试大纲》要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神，预测今年的向量高考题的难度可能上升到压轴题水平.3、（一中）在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总是保持PEAC.（1）指出动点P的轨迹（即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形），证明你的结论；（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P－CDE的最大体积是正四棱锥S－ABCD体积的几分之几？（3）设动点P在G点的位置时三棱锥P－CDE的体积取最大值V1，二面角G－DE－C的大小为，二面角G－CE－D的大小为，求tan:tan的值.（4）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其它条件不变，请指出点P的轨迹，证明你的结论.解析：（1）如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD.设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是SCD的中位线FG.由正四棱锥可得ACEFACSB,.又,,//ACEGSBEGAC平面EFG，EFGP,平面EFG，PEAC.（2）由于CDES是定值，所以当P到平面CDE的距离最大时，CDEPV最大，易知当P与G重合时，P到平面CDE的距离最大，故CDEGCDEPVVmax)(.又ABCDCDESS正方形41，G到平面ABCD的距离是点S到平面ABCD的距离的21，ABCDSCDEGCDEPVVV81)(max.（3）令aAB，EF与AC交于N点，连结GN，则GN平面ABCD.因此二面角G－DE－C和二面角G－CE－D的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距离的倒数比.N是OC的中点，N到BC的距离为a41.连结DE交OC于M，则M是DBC的重心，aMN122.又aNEaME42,65，在MNERt中，容易求得N到DE的距离为54a.故1:5tan:tan.（4）动点P在侧面SCD内部及其边界上运动，且总保持ACPE，那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内，而由正四棱锥的性质可知，AC平面SBD，因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内.过E作EG//SB，EF//BD，分别交SC于G，交CD于F，则平面EGF//平面SBD，从而AC平面EGF，故点P的轨迹是线段GF.说明：本题全方位地考查了立体几何中的主要内容，如线面与线线的位置关系、体积问题、二面角问题等.在立体几何的问题中给出了探求点的轨迹问题，与平面几何、解析几何紧密联系，体现了对综合运用知识的能力要求，考查的知识点丰富，具有相当的难度和深度，达到了压轴题的水平，是一道优秀的创新型试题.4、（一中）已知)0()(23adcxbxaxxf是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点.若点B的坐标为(2,0)，且)(xf在]0,1[和[4,5]上有相同的单调性，在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.（1）求c的值；（2）在函数)(xf的图象上是否存在一点),(00yxM，使得)(xf在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求AC的取值范围.解析：（1）因为)(xf在]0,1[和[0,2]上有相反的单调性，所以0x是)(xf的一个极值点，故0)0(f，即0232cbxax有一个解0x，则0c.（2）因为)(xf交x轴于点B(2,0)，所以048dba，即)2(4abd.令0)(xf得abxxbxax32,0,023212.因为)(xf在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性，所以,432,232abab36ab.假设存在点),(00yxM，使得)(xf在点M的切线斜率为3b，则bxf3)(0，即0323020bbxax.)9(4364)3(34)2(22abababbbab.而36ab，0.故不存在点),(00yxM，使得)(xf在点M的切线斜率为3b.（3）设)0,(),0,(CA，依题意可令))(2)(()(xxxaxf]2)22()2([23xxxa，则,2),2(adab即.2,2adabadabAC2)2(4)(2216)2(2ab))2(4(abd36ab，当6ab时，34maxAC；当3ab时，3minAC.故343AC.说明：在知识的交汇点上命题，着重考查学生的创新能力是高考改革的重要方向.本题以高中数学新增内容导数为切入点，涉及了函数、方程、不等式等众多知识点，构题新颖、自然，令人耳目一新。