高考复习高三单元试题之八圆锥曲线方程

高三单元试题之八圆锥曲线方程一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是()A．2B．12C．32D．522．⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，|O1O2|=4，动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，则动圆圆心轨迹是()A．椭圆B．抛物线C．双曲线D．双曲线的一支3．双曲线tx2－y2－1＝0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率为（）A．5B．25C．23D．34．P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．若抛物线y2＝2px(p0)与抛物线y2＝2q(x－h)(q0)有公共焦点，则()A．2h＝p－qB．2h＝p+qC．2h＝－p－qD．2h＝q－p6．设双曲线12222byax（a，b＞0）两焦点为F1、、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是()A．椭圆的一部分；B．双曲线的一部分；C．抛物线的一部分；D．圆的一部分7．方程12sin3sin222yx所表示的曲线为()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线8．我国发射的“神舟四号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为()A．千米))((2RnRmB．千米))((RnRmC．mn千米D．2mn千米9．双曲线xaybab2222100()，的离心率e152，点A与F分别是双曲线的左顶点和右焦点，B（0，b），则∠ABF等于()A.45°B.60°C.90°D.120°10．设F1，F2是双曲线xy2241的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，12PFPF的值为()A．2B．1C．21D．011．设a,b∈R，ab≠0，则直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的大致图形是()12．下列命题正确的是（）①动点M至两定点A、B的距离之比为常数)10(且.则动点M的轨迹是圆。②椭圆ccbebabyax(,22)0(12222则的离心率为半焦距）。③双曲线)0,0(12222babyax的焦点到渐近线的距离为b。④已知抛物线y2＝2px上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)且OA⊥OB(O为原点),则y1y2＝－p2。A．②③④B．①④C．①②③D．①③二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。13．已知圆x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px（p0）的准线相切，则抛物线的焦点坐标是。14．已知椭圆3x2+4y2=12上一点P与左焦点的距离为25，则点P到右准线的距离为。15．以双曲线191622yx的右焦点为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是。16．若平移椭圆4(x+3)2+9y2=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x轴、y轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是______．三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．在△ABC中，顶点A、B、C所对三边分别为a、b、c，B（－1，0），C（1，0）且b、a、c成等差数列，求顶点A的轨迹方程。xyxOAxyxOCxyxOBxyxOD18．如图，椭圆134:221yxC的左右顶点分别为A、B，P为双曲线134:222yxC右支上（x轴上方）一点，连AP交C1于C，连PB并延长交C1于D，且△ACD与△PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.19．已知椭圆C的方程为12222byax（a＞b＞0），双曲线12222byax的两条渐近线为l1．l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两交点从左到右依次为B、A（如图2－3），求|PA||PB|的最大值及取得最大值时椭圆C的离心率e的值。20．(本小题满分12分)已知AB是椭圆)0(12222babyax的一条弦，M（2，1）是AB的中点，以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N（4，－1）MxNPl2Bl1oAFy图2－3⑴设椭圆和双曲线的离心率分别为1,2121eeee当和时，求椭圆的方程.⑵求椭圆长轴长的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，定直线l是半径为3的定圆F的切线，P为平面上一动点，作PQ⊥l于Q，若|PQ|=2|PF|.⑴点P在怎样的曲线上？并求出该曲线E的标准方程；⑵过圆心F作直线交曲线E于A、B两点，若曲线E的中心为O，且OBOFAO23，求点A、B的坐标.22．如图，已知线段|AB|=4，动圆O′与线段AB切于点C，且|AC|－|BC|=22，过点A，B分别作⊙O′的切线，两切线相交于P，且P、O′均在AB的同侧.⑴建立适当坐标系，当O′位置变化时，求动点P的轨迹E的方程；⑵过点B作直线l交曲线E于点M、N，求△AMN的面积的最小值.QlPFPBACO′高三单元试题之八：圆锥曲线方程参考答案一、1．C2．D3．B4．A5．A6．D7．C8．A9．C10．D11．B12．C二、13．(1,0)14．315．)5(362xy16．4(x－3)2＋9(y－2)2＝36三、17．解：∵b,a,c成等差数列，∴2a=b+c；又∵a=|BC|=2,∴b+c=4a,即|AB|+|AC|=4|BC|，则顶点A的轨迹为椭圆（除长轴顶点）。由已知得椭圆的c′=1，a′=2，∴椭圆方程为.13422yx则顶点A的轨迹方程为.13422yx（x≠0）。18．解：由题意得C为AP中点，设)0,2(),,(00AyxC，),2,22(00yxP把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得,124)22(3124320202020yxyx解之得：)0,2(),3,4(),23,1(,23100BPCyx又故故直线PD的斜率为232403，直线PD的方程为),2(23xy联立)23,1(134)2(2322Dyxxy解得，故直线CD的倾斜角为90°.19．解：设C的半焦距为c，由对称性，不妨设l1：y=－abx，l2：y=abx由),(,cxbayxaby得P（ca2，cab），故点P在椭圆的右准线x=ca2上。设点A内分有向线段FP的比为，由定比分点坐标公式求出点A的坐标为1(2cac，1cab），∵点A在椭圆C上，将点A的坐标代入椭圆方程化简．整理得：（c2+a2)2+2a4=a2c2(1+)2，两边同除以a4，由e=ac得（e2+)2+2=e2(1+)2，∴2=242e2ee=－[（2－e2)+2e22]+3≤－2)e22()e2(22+3=3－22=(2－1)2，当且仅当2－e2=2e22即e2=2－2时，max=2－1分别过A、B作椭圆C的右准线的垂线，垂足分别为N、M。设|PB|=t|PA|，可得|BM|=t|AN|，∵||||BMBF=e，∴|BM|=eBF||，同理有|AN|=eAF||，∴|BF|=t|AF|∴|AB|=|BF|+|AF|=（t+1）|AF|又∵|AB|=|PB|－|PA|=（t－1)|PA|∴（t+1)|AF|=(t－1)|PA|，∴11||||ttAPFA，又∵||||APFA=（∵A为FP的内分点）∴1t1t=，由≤2－1，解不等式1t1t≤2－1，得t≤2+1，∴||||PAPB的最大值为2+1，此时椭圆C的离心率e=2220．解：⑴.1,,),,(),,(2212212211byaxBAyxByxA在椭圆上①1222222byax②4,)1,2(21xxABM中点为③y1+y2=2④14211,,,,2121xxyyNMBA四点共线⑤①—②得21212212212212122121)()(,0))(())((xxyyayybxxbyyyyaxxxx即…*将③、④、⑤式代入*式，得a2=2b2,c2=b2)2(22,2112221分eace设椭圆的右准线为1，过N作NN′⊥1，则由双曲线定义及题设知.2|42|22|4|2)42(||||2222acaNNMNe解之，得1918,9,23)4(,223222vxbaaa椭圆方程为时当分或.当2a时，椭圆方程为,1222yx此时点M（2，1）在椭圆外，不可能是椭圆弦的中点，应舍去，故所求椭圆方程为)6(191822分yx⑵由题设知AB方程为y=-x+3，椭圆方程为x2+2y2-a2=0.由023222ayxxy得3x2-12x+18-a2=0（8分）)11.(22222226)10(2222222222,.1|42|22.6,07212)18(34)12(2222分或分或得解之又解得由aaaaaeaaa故椭圆长轴2a取值范围是)12)(424,24()24,62(分21．解：⑴∵F为定点，l为定直线，,121||||PQPF∴由椭圆第二定义可知，P点在以F为左焦点，l为左准线的椭圆上。依题意知,3123,2122bcaccaac解得∴曲线E的标准方程为13422yx。⑵设),0,1(),0,0(,23).,(),,(2211FOOBOFAOyxByxA又),2,2(),3(),,(2)0,1(3),(22112211yxyxyxyx即,2,231212yyxx又∵A、B都在椭圆上，∴,12)2(4)23(3124321212121yxyx,853,47;453,212211yxyx).853,47(),453,21()853,47(),453,21(BABA或22．⑴以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标，并设点P坐标为P(x，y)，设PA、PB分别切⊙O′于E、F，则|PE|=|PF|，|AE|=|AC|，|BC|=|BF|，∵|PA|－|PB|=|AC|－|BC|=202，故点P的轨迹为以A、B为焦点，实轴长为22的双曲线右支（除去与x轴交点）由题意，2,2,22bca故P点轨迹E的方程为：)2(222xyx⑵设直线l的倾斜角为，直线l方程为y=tan·(x－2)及x＝2，注意到≠0，∴直线l方程可写成y·cot＝x－2，由直线l与E交于M、N两点知)43,4(由22cot22yxxy02cot4)1(cot22yy由|y1－y2|2=222)1(cot)cot1(8得：S△AMN=sin1sin2242cossin24||||2121yyAB由)43,4(，知)1,22(sin∵函数xxy12在区间（0，－∞）上为增函数.∴1sin,即2时,(S△AMN)min=4.2