高考仿真试题四数学理

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理工农医类(四)本试卷分第Ⅰ卷（选择题共60分）和第Ⅱ卷（非选择题共90分），考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=knCpk(1－p)n－k球的表面积公式S=4πR2,其中R表示球的半径球的体积公式V=34πR3,其中R表示球的半径一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={圆:x2+y2=1},B={直线:y=x},则A∩B为A.{(22,22)}B.{(－22,－22)}C.{(22,22),(－22,22)}D.解析:注意集合中的元素,A为圆,B为直线,故A∩B=.答案:D2.用6种不同的颜色把下图中A、B、C、D四块区域分开,允许同一色涂不同的区域,但相邻的区域不能涂同一色,则不同的涂法共有ABCDA.400种B.460种C.480种D.496种解析:由A→B→C→D的顺序填涂可得,共有16C、15C、14C、14C=480种填涂方法.答案:C3.使得点A(cos2α,sin2α)到点B(cosα,sinα)的距离为1的α的一个值是A.B.C.－D.－4解析:|AB|=22)2sin2(sin)cos2cos(=2|sin2|=1.答案:C4.已知4a－2b=(－2,23),c=(1,3),a·c=3,|b|=4,则b与c的夹角是A.2B.3C.4D.6解析:由题设得4a·c－2b·c=4·3－2b·c=(－2,23)·(1,3),故得b·c=4.所以cosθ=||||cbcb=244=21θ=,故选B本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量数量积公式的灵活应用.答案:B5.已知数列an=1anbn,其中a0,b0(a、b为常数),那么an与an+1的大小关系是A.anan+1B.anan+1C.an=an+1D.与n的值相关解析:构造函数:an=ab(1－a1·an11),由a0,b0知an是关于n的减函数,∴anan+1.答案:A6.函数y=xx||lg的大致图象是xyOAxyOBxyOCxyOD解析:y=xx||lg是奇函数,且当x=±1时,y=0,所以选D.答案:D7.如下图,正方体的棱长为3cm,在每一个面的正中有一个正方形孔通到对面,孔的边长为1cm,孔的各棱平行于正方体的各棱,则该几何体的总表面积为A.54cm2B.72cm2C.76cm2D.84cm2解析:把棱长为3cm的正方体分割成棱长为1cm的正方体共有33=27个,如题意抽去三个方向上的正方体,余下的可分为两类.第一类:处于正方体8个顶点上的8个小正方体,它们算入表面积的面各3个,共3×8=24(cm2);第二类:处于正方体各棱中间的正方体,每个正方体算入表面积的面各4个,共4×12=48(cm2),则总表面积为24+48=72(cm2).注：此题另一种思路是：外表面积8×6＝48(cm2),内表面积2×12=24(cm2),总表面积72cm2.答案:B8.如果5x≠kx对一切x≥15均成立,则有A.k≤0B.k≤0或k2020C.k≤0或k1510D.0≤k2020解析:令y=5x,y=kx,显然k≤0时成立,由kxyxy52k2x2－x+5=0(k0),由Δ=0,得k=2020;由xyxy2020,52得x=10,而x≥15,∴当x=15时,k=1510.∴k≤0或k1510.答案:C9.满足不等式0≤y≤2－|x|的整数解(x,y)的个数是A.6B.7C.8D.9解析:由已知|x|≤2,则－2≤x≤2.当x=－2,2时，y=0.有2个；当x=－1,1时，y=0,1.有4个；当x=0时，y=0,1,2.有3个.综上，共有9个，故选D.答案:D10.一名射击运动员命中的概率为0.7,那么他射击21次后最可能的命中次数是A.13或14B.14或15C.16或17D.17或18解析:满足几何分布,∴Eξ=np=14.7.∴B满足.答案:B11.若nlim(a·122nn－nb)=1,则ab的值是A.82B.42C.8D.16解析:nlim(a·122nn－nb)=nlimnbnnaananba12)2(222222存在,则2a2－b2=0.①∴原式=nlimbnnanaa222112=1.∴baa22=1.②由①②可知,a=22,b=4.∴ab=82.答案:A12.已知f(x)=,01,0,,2xxxx则f′(1)、f′(－1)等于A.－2B.－3C.－1D.1解析:f′(x)=.0,2,0,121xxxx∴f′(1)·f′(－1)=－1.答案:C普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理工农医类(四)第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上)13.在(2+x33)2004的展开式中,系数为有理数的项共有_______项.解析:易知Tr+1=r2004C21002－2r·33rx－r.其系数为有理数的充要条件是r为2与3的倍数,即r被6整除,所以r=6k(k∈Z).∵0≤6k≤2004,∴0≤k≤334(k∈Z).∴k=0,1,2,…,334.系数为有理数的项共有335项.或利用等差数列通项公式,由2004=6(n－1),解得n=335.答案:33514.如下图的电路中有a、b、c三个开关,每个开关断开或闭合的概率都是21,且是相互独立的,则在某时刻灯泡甲、乙亮的概率分别是_______.abc甲乙解析:甲亮须a、c闭合,b开启,∴P甲=21×21×21=81.乙亮a必须闭合,b、c只需一个闭合即可,∴P乙=21×(21×21+21×21+21×21)=83.答案:81,8315.四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有_______种.解析:ABCD从10个点中任取4个的组合数为410C=210种.其中4点共面的分三类.(1)4点在同一侧面或底面的共4组,即46C×4=60种.(2)每条棱的中点与它的对棱上三点共面,这样的共6种.(3)在6个中点中,4点共面数有3种.故4点不共面的取法有210－(60+6+3)=141种.答案:14116.关于正四棱锥P—ABCD,给出下列命题:①异面直线PA与BD所成的角为直角;②侧面为锐角三角形;③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角;④相邻两侧面所成的二面角为钝角.其中正确命题的序号是___________.解析:PABCDEFO①对,如图,顶点P在底面上的射影为底面中心O.∵AC⊥BD,∴PA⊥BD,即PA与BD所成的角为直角.②对,设正四棱锥底面边长为a,侧棱长为b,则AC=2a,OA=OB=22a.∵b22a,在△PAB中,PA2+PB2－AB2=2b2－a22(22a)2－a2=0,∴∠APB为锐角,故△APB为锐角三角形,即侧面为锐角三角形.③对,取BC中点E,连PE、OE,易知∠PEO为侧面与底面所成的角,∠PBO为侧棱与底面所成的角,sin∠PEO=PEPO,sin∠PBO=PBPO.∵PBPE,∴sin∠PEOsin∠PBO.∴∠PEO∠PBO.④对,作AF⊥PB于F,连FC,易证FC⊥PB,∴∠AFC为相邻两侧面所成的二面角.∵AFAB,CFBC,在△AFC中,AF2+CF2－AC2AB2+BC2－AC2=0,从而∠AFC90°.故相邻两侧面所成的二面角为钝角.答案:①②③④三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈［0,］,求f(x)的最大值、最小值.解:（1）因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x=(cos2x+sin2x)·(cos2x－sin2x)－sin2x=cos2x－sin2x=2cos(2x+),所以f(x)的最小正周期T=2=π.6分(2)因为0≤x≤,所以≤2x+≤5.当2x+=时,cos(2x+)取得最大值22;当2x+=π时,cos(2x+)取得最小值－1.所以f(x)在［0,］上的最大值为1,最小值为－2.12分18.(本小题满分12分)已知正四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面边长为3,高为4.(1)平面ABCD内是否存在与AB不平行的直线与BC′垂直?证明你的结论.(2)求二面角A′—BC′—B′的大小.(3)求点D′到平面A′BC′的距离.解法一:(几何法)(1)不存在.证明:假设平面ABCD内存在与AB不平行的直线l与BC′垂直.∵ABCD—A′B′C′D′是正四棱柱,∴AB⊥BC′.又AB与l相交,∴BC′⊥平面ABCD.又BB′⊥平面ABCD,这与“过一点只能作一条直线与一个平面垂直”相矛盾.故平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC′垂直.4分BDACABCD''''H(2)作BH⊥BC′于H.连结A′H.∵A′B′⊥平面BB′C′,∴A′H⊥BC′.∴∠A′HB′为二面角A′—BC′—B′的平面角.易求得B′H=512,A′H=5413.又A′B′=3,∴△A′B′H中,cos∠A′HB′=HBHABAHBHA2222=512541323)512()5413(222=41414.∴∠A′HB′=arccos41414为所求.8分(3)设d为所求距离.∵VD′—A′BC′=VB—A′C′D′,∴31S△A′BC′·d=31S△A′C′D′·BB′31·2413·d=31·(21·32)·4d=414112为所求.12分解法二:(向量法)(1)不存在.证明:建立如图空间直角坐标系.不妨假设平面ABCD内存在直线BE(E在AD上且与A不重合)与BC′垂直(如图).BDACABCD''''HGxyzE设E(0,t,4)(t≠0),则BE=(0,t,4)－(3,0,4)=(－3,t,0).又BC=DA=AA+DA=(0,0,－4)+(0,3,0)=(0,3,－4),∴BC·BE=(0,3,－4)·(－3,t,0)=3t=0t=0,这与t≠0矛盾.∴平面ABCD内不存在与AB不平行的直线l与BC′垂直.(2)如图,作A′H⊥BC′于H,连结B′H.∵A′B′⊥平面BB′C′,∴B′H是A′H在平面BB′C′内的射影.∴B′H⊥BC′.∴∠A′HB′就是二面角A′—BC′—B′的平面角.设H(3,y,z),∵B′(3,0,0),∴BH=(0,－y,－z).又CB=(3,3,0)－(3,0,4)=(0,3,－4),∴BH·CB=－3y+4z.∵BH⊥CB,∴－3y+4z=0.①又由BH=λCB,可得4y+3z－12=0.②解①②联立的方程组,得y=2548,z=2536.故BH=(3,0,0)－(0,2548,2536)=(3,－2548,－2536),AH=(－3,－2548,－2536).又易得|BH|=512,|AH|=5413.∴cos∠A′