高二数学中期考试试题总分150分时间120分钟一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1、M={正四棱柱},N={长方体},Q={正方体},P={直四棱柱}.则下列关系中正确的是()A、QMNPB、QMNPC、QNMPD、QNMP2、下列说法正确的是()A、直线a平行于平面M,则a平行于M内的任意一条直线B、直线a与平面M相交,则a不平行于M内的任意一条直线C、直线a不垂直于平面M,则a不垂直于M内的任意一条直线D、直线a不垂直于平面M,则过a的平面不垂直于M3、如图:在平行六面体1111DCBAABCD中,M为11CA与11DB的交点。若aAB,bAD,cAA1,则下列向量中与DM相等的向量是()A、cba2121B、cba2121C、cba2121D、cba21214、点(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标是()A、(x,-y,-z)B、(-x,-y,z)C、(x,-y,z)D、(-x,y,-z)5、已知空间四点A(2,1,-3),B(-2,3,-4),C(3,0,1),D(1,4,m),若A、B、C、D四点共面,则m=()A、-7B、-22C、19D、56、下面四个条件:①平行于同一个平面;②垂直于同一直线;③与同一平面所成的角相等;④分别垂直于两个平行平面.其中能够判定空间两条直线平行的有()A.0个B.1个C.2个D.3个7、如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,又BC1⊥AC,过C1作C1H⊥底面ABC,垂足为H,则点H一定在()A、直线AC上B、直线AB上C、直线BC上D、△ABC的内部MC1CB1D1A1ABD8、若平面α∥平面β,直线l在α内,且α与β之间的距离为d,下面给出四个命题:①β内有且只有一条直线与l的距离等于d;②β内所有直线与l的距离都等于d;③β内有无数条直线与l的距离等于d;④β内所有直线与α的距离都等于d.其中正确的是()A.①B.②C.①与②D.③与④9、在下列条件中,可判断平面α与β平行的是()A.α、β都垂直于平面.B.α内存在不共线的三点到β的距离相等.C.l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β.D.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β.10、一个棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为1:2,则此棱锥的高被分成两段之比(自上而下)为()A.1:2B.1:4;C.1:(2+1)D.1:(12)二、填空题:(本大题共6小题,每小题4分,共24分,把正确答案填在题中横线上。)11、边长为2的正方形ABCD的边CD在平面内,AB在平面外,如果AB与平面的距离为2,则对角线AC与平面所成角的大小是_____________.12、已知S是△ABC所在平面外一点,D是SC的中点,若BD→=xAByACzAS,则x+y+z=.13、正四面体ABCD中,点A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,3,0),则点D的坐标为________________.14、设地球半径为R,若30°纬线圈所在小圆的直径为AB,则A、B两点间的球面距离为__________________.15、如右图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BDC=90°,E、F分别是AD、BC的中点,若EF=CD,则EF与平面ABD所成的角为___________.16、下列5个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出l面MNP的图形的序号是_________________________(写出所有符合要求的图形序号)①②③④⑤PMNlPNMlNlPMlMNPNlPMzyxCQADBOEF三、解答题:(本大题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证:(1)AP⊥MN(2)平面MNP∥平面A1BD。18.(本小题满分12分)如图,正方体的一个顶点为O,OA、OB、OC是有一个公共点O的三个面上的对角线,OQ为正方体对角线。(1)求OCOBOA与OQ的关系;(2)沿OA、OB、OC方向分别作用10g、20g、30g的力,求这些力的合力的大小。19.(本小题满分12分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8,面的对角线BC1=10,D为AC的中点,(1)求证:AB1//平面C1BD;(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值;DBCA1B1C1A20.(本小题满分13分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB与BB1的中点,(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)求二面角F-DE-C大小.21.(本小题满分13分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=900,棱AA1=2,M、N分别是A1B1,A1A的中点,(1)求证:C1M⊥BN(2)求点B1到平面CNB的距离;MNBCA1B1C1A22.(本小题满分14分)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,点E在边AB上,F为PD的中点,AF∥平面PCE,(1)试确定E点位置;(2)若二面角P-CD-B为450,AD=2,CD=3,求直线AF到平面PCE的距离。zyxCQADBOEF高二数学中期考试参考答案一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)ABDDB,BCDDD二、填空题:(本大题共6小题,每小题4分,共24分)11、300;12、0;13、(1,33,362);14、R3215、30°;16、①④⑤提示:13、设D(x,y,z),由AB⊥CD,AD⊥BC,|AD|=2,可建立关于x,y,z的方程组,从而得解.三、解答题:(本大题共6小题,共76分)17.(本小题满分12分)证明:(1)连BC1、B1C,则B1C⊥BC1,BC1是AP在面BBCC1上的射影。∴AP⊥B1C,又B1C∥MN,∴PA⊥MN;(2)连结B1D1,∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点,∴PN∥B1D1,又B1D1∥BD,∴PN∥BD,又PN不在平面A1BD上,∴PN∥平面A1BD。同理MN∥平面A1BD,又PN∩MN=N,∴平面PMN∥平面A1BD。18.(本小题满分12分)解:⑴设正方体的棱长为1,由图中坐标系可得:A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),Q(1,1,1)∴OCOBOA=(2,2,2),OQ=(1,1,1),则OCOBOA=2OQ⑵∵OA、OB、OC是有一个公共点O的三个面上的对角线,∴OA、OB、OC两两夹角均为600,又∵沿OA、OB、OC方向分别作用10g、20g、30g的力,∴可设|OA|=10,|OB|=20,|OC|=30,∵|OCOBOA|2=(OCOBOA)2=2500∴|OCOBOA|=50,则这些力的合力的大小为50g19.(本小题满分12分)解:(1)连结B1C交BC1于点E,则E为BC1的中点,并连结DE∵D为AC中点∴DE∥AB1而DE面BC1D,AB1面BC1D∴AB1∥面C1BD(2)由(1)知AB1∥DE,则∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角由条件知BC1=10,BC=8则BB1=6∵正三棱柱中AB1=BC1∴DE=5又∵BD=34823∴在△BED中2515524825252cos222DEBDBDDEBEBED故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为251解二(向量法)以点D为原点,以DA、DB、1AA方向的单位向量为x、y、z轴建立空间直角坐标系,由已知得A(4,0,0),B(0,43,0),C(-4,0,0),D(0,0,0),A1(4,0,6),B1(0,43,6),C(-4,0,6),则1AB=(-4,43,6),1BC=(-4,-43,6).设平面C1BD的法向量为n=(x,y,z),由n•DB=0,可得y=0;由n•1BC=0,可得4x=10z,∴可取n=(5,0,2),(1)∵n•1AB=0,∴AB1∥面C1BD(2)∵cos1AB,1BC=251故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为25120.(本小题满分13分)(1)BDAEFABADAEFBAABEFABBAEFDABABAEFBABADA111111111111111111//,平面平面平面(II)延长DE、CB交于N,∵E为AB中点,∴△DAE≌△NBE过B作BM⊥EN交于M,连FM,∵FB⊥平面ABCD∴FM⊥DN,∴∠FMB为二面角F—DE—C的平面角DBCA1B1C1A设AB=a,则BM=5aENBNBE又BF=2a∴tan∠FMB=2552aaBMFB,即二面角F—DE—C大小为arctan25证明二(向量法):(1)以射线DA、DC、1DD分别为OX、OY、OZ轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2,则E(2,1,0),F(2,2,1),A1(2,0,2),D1(0,0,2),B(2,2,0);EF=(0,1,1),11DA=(-2,0,0),BA1=(0,2,-2).由EF•11DA=0,EF•BA1=0,可得EF⊥A1D1,EF⊥A1B,∴EF⊥平面A1D1B(2)平面CDE的法向量为1DD=(0,0,2),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),由n•EF=0,n•DE=0,解得2x=-y=z,可取n=(1,-2,2),设二面角F-DE-C大小为θ,∴cosθ=11DDnDDn=64=32,即二面角F—DE—C大小为arccos3221.(本小题满分13分)解一:(1)以射线CA、CB、1CC分别为OX、OY、OZ轴,建立空间直角坐标系,则C1(0,0,2),M(21,21,2),N(1,0,1),B(0,1,0),MC1=(21,21,0),BN=(1,-1,1)∴MC1·BN=21×1+21×(-1)+0×1=0,∴BN⊥C1M(2)CN=(1,0,1),1CB(0,1,2),CB=(0,1,0),设平面CNB的法向量为n=(x,y,z),由n·CB=0,n·CN=0,解得y=0,x=-z,取n=(1,0,-1),记点B1到平面CNB的距离d,∴d=||||1nCBn=2解二:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∵CA=CB=1,M是A1B1的中点,∴C1M⊥A1B1,又∵AA1⊥平面A1B1C1,∴C1M⊥AA1,则C1M⊥平面A1B1BA,又∵BN平面A1B1BA,∴C1M⊥BN(2)∵B1C1∥BC,∴点B1到平面CNB的距离d等于点C1到平面CNB的距离.连C1N,∵在矩形A1C1CA中,N是A1A的中点,CA=CB=1,AA1=2,∴C1N⊥CN;又由C1C⊥CB,AC⊥CB,得CB⊥平面A1C1CA,∴CB⊥C1N.则C1N⊥平面BCN,∴d=C1N=2.22.(本小题满分14分)解:(1)过AF、AB作平面β交PC于点G,连FG、EG,∵四边形ABCD是矩形,点E在边AB上,∴EA∥CD,∴EA∥平面PCD,∴EA∥FG∥CD,∵AF∥平面PCE,∴AF∥EG,则四边形AEGF是平行四边形又∵F为PD的中点,∴EA=FG=21CD,则点E是边AB的中点.(2)延长CE、DA交于点H,作AM⊥HC,垂足为点M;连接AM、PM,作AN⊥PM,垂足为点N.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥HC,则HC⊥平面PAM,∴HC⊥AN,则AN⊥平面PEC;又∵AF∥平面PCE,∴线段AN的长是直线AF到平面PCE的距离.∵二面角P-CD-B为450,可证得∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角,∴∠PDA=450.在Rt△PAD中,∵AD=2,∴PA=2.FECAHDPBGMNMNBCA1B1C1A又在Rt△HCD中,∵EA=21CD,CD