高二数学圆锥曲线方程优化训练

第八章圆锥曲线方程(一)椭圆与双曲线●知识网络●范题精讲【例1】已知椭圆的两焦点为F1(0，－1)、F2(0，1)，直线y=4是椭圆的一条准线.(1)求椭圆方程；(2)设点P在椭圆上，且|PF1|－|PF2|=1，求tan∠F1PF2的值.解析:本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力.(1)设椭圆方程为22bx+22ay=1(ab0).由题设知c=1，ca2=4,∴a2=4,b2=a2－c2=3.∴所求椭圆方程为32x+42y=1.(2)由(1)知a2=4,a=2.由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4，又|PF1|－|PF2|=1,∴|PF1|=25，|PF2|=23.又|F1F2|=2c=2,由余弦定理cos∠F1PF2=||||2||||||212212221PFPFFFPFPF=23252449425=53.∴tan∠F1PF2=1cos1212PFF=1925=34.【例2】已知双曲线x2－22y=1,过点A(2，1)的直线l与已知双曲线交于P1、P2两点.(1)求线段P1P2的中点P的轨迹方程；(2)过点B(1，1)能否作直线l′,使l′与已知双曲线交于两点Q1、Q2，且B是线段Q1Q2的中点?请说明理由.(1)解法一:设点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，中点P的坐标为(x,y),则有x12－221y=1,x22－222y=1,两式相减，得2(x1+x2)(x1－x2)=(y1+y2)(y1－y2).当x1≠x2,y≠0时,由x1+x2=2x,y1+y2=2y,得yx2=2121xxyy.①又由P1、P2、P、A四点共线，得21xy=2121xxyy.②由①②得yx2=21xy,即2x2－y2－4x+y=0.当x1=x2时，x=2,y=0满足此方程，故中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x+y=0.解法二:设点P1、P2、中点P的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x,y),直线l的方程为y=k(x－2)+1,将l方程代入双曲线x2－22y=1中，得(2－k2)x2+2k(2k－1)x+2k2－3=0,则x1+x2=2)12(22kkk,x1x2=22322kk,y1+y2=k(x1+x2)+2－4k=2)12(42kk.于是.2)12(22,2)12(2221221kkyyykkkxxx当y≠0时，由①②得k=yx2.将其代入①，整理得2x2－y2－4x+y=0.当l倾斜角为90°时，P点坐标为(2，0)仍满足此方程，故中点P的轨迹方程为2x2－y2－4x+y=0.(2)解:假设满足题设条件的直线l′存在，Q1、Q2的坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),同(1)得2(x3+x4)(x3－x4)=(y3+y4)(y3－y4).∵x3+x4=2,y3+y4=2,∴4343xxyy=2(x3≠x4),即l′的斜率为2.∴l′的直线方程为y－1=2(x－1)，即y=2x－1.∵方程组12,1222yxxy无解，与假设矛盾,∴满足条件的直线l′不存在.【例3】如下图，已知△OFQ的面积为S，且OF·FQ=1，①②QFO(1)若S的范围为21S2,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围；(2)设|OF|=c(c≥2),S=43c,若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|OQ|取得最小值时，求此椭圆的方程.分析:本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.解:(1)∵OF·FQ=1,∴|OF|·|FQ|·cosθ=1.又21|OF|·|FQ|·sin(180°－θ)=S,∴tanθ=2S,S=2tan.又21S2,∴212tan2,即1tanθ4,∴4θarctan4.(2)以OF所在的直线为x轴，以OF的过O点的垂线为y轴建立直角坐标系(如下图).QFxyO∴O(0,0),F(c,0),Q(x0,y0).设椭圆方程为22ax+22by=1.又OF·FQ=1，S=43c,∴(c,0)·(x0－c,y0)=1.①21·c·|y0|=43c.②由①得c(x0－c)=1x0=c+c1.由②得|y0|=23.∴|OQ|=2020yx=49)1(2cc.∵c≥2,∴当c=2时，|OQ|min=49)212(2=234,此时Q(25，±23)，F(2，0).代入椭圆方程得.4,1494252222baba∴a2=10,b2=6.∴椭圆方程为161022yx.评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势.●试题详解高中同步测控优化训练(十一)第八章圆锥曲线方程(一)(A卷)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.椭圆2x2+3y2=6的焦距是A.2B.2(3－2)C.25D.2(3+2)解析:将2x2+3y2=6化为标准方程为32x+22y=1，∴a2=3,b2=2,c2=3－2=1，焦距2c=2×1=2.答案:A2.方程4x2+Ry2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则R的取值范围是A.R0B.0R2C.0R4D.2R4解析:将方程变为412x+Ry12=1,由已知可得41R1,∴0R4.答案:C3.已知点M在椭圆上，椭圆方程为252x+162y=1,M点到左准线的距离为2.5，则它到右焦点的距离为A.7.5B.12.5C.2.5D.8.5解析:∵a=5,b=4,∴c=3.两准线间的距离为2·ca2=2×352=350.M到左准线的距离为2.5，则M到右准线的距离为350－2.5=685.设椭圆右焦点为F，则685||MF=ac=53,∴|MF|=8.5.答案:D4.若双曲线22ax－22by=1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是A.2B.3C.34D.35解析:由2b=a+c得4b2=a2+2ac+c2,即3c2－2ac－5a2=0,∴3e2－2e－5=0.∴e=35.答案:D5.双曲线92x－162y=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且直线PF1、PF2倾斜角之差为3,则△PF1F2的面积为A.163B.323C.32D.42解析:由题意可知|PF1|－|PF2|=6，∠F1PF2=3,|F1F2|=10.由余弦定理，得|F1F2|2=(|PF1|－|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,∴|PF1|·|PF2|=64.∴S=21×64sin3=163,选A.答案:A6.以椭圆252x+92y=1的焦点为焦点，离心率e=2的双曲线方程是A.62x－122y=1B.62x－142y=1C.42x－142y=1D.42x－122y=1解析:a2=25,b2=9,则c2=16,c=4,椭圆焦点坐标为(4，0)、(－4，0).双曲线的焦点仍为(4，0)、(－4，0)，由于e=2,c=4,∴a=2,b2=c2－a2=12.∴双曲线方程为42x－122y=1.答案:D7.已知双曲线22ax－22by=1和椭圆22mx+22by=1(a0,mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边的三角形是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:双曲线22ax－22by=1的离心率e1=ac=aba22，椭圆的离心率e2=mbm22.∵e1与e2互为倒数，∴e1e2=1,即aba22·mbm22=1,整理得a2+b2=m2.∴以a、b、m为边的三角形是直角三角形.答案:B8.方程22)1(3)1(3yx=|x+y－2|表示的曲线是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.不能确定解析:数形结合法.动点P(x,y)到定点(－1,－1)和定直线x+y－2=0距离之比为26.答案:B9.若椭圆mx2+ny2=1(mn0)和双曲线22ax－22by=1(ab0)有相同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是A.m－aB.21(m－a)C.m2－a2D.m－a解析:|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|－|PF2|=2a,∴|PF1|=m+a,|PF2|=m－a.∴|PF1|·|PF2|=m－a.答案:A10.已知F1、F2为椭圆22ax+22by=1(a＞b＞0)的焦点,M为椭圆上一点,MF1垂直于x轴,且∠F1MF2=60°,则椭圆的离心率为A.21B.22C.33D.23分析:本题考查如何求椭圆的离心率.解:∵MF1⊥x轴,∴M点的横坐标为xM=－c.把xM代入椭圆方程22ax+22by=1中,得yM=22ab,如下图所示.FFMOyx12在Rt△MF1F2中,tan∠F1MF2=121MFFF=222abc=3,即2ac=3b2.∴3a2－2ac－3c2=0.每一项都除以a2,得3－2e－3e2=0,解得e1=33或e2=－3(舍).答案:C第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.若椭圆的两个焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为__________.解析:△ABF2的周长:|AF2|+|AF1|+|BF2|+|BF1|=2a+2a=4a=20,∴a=5.又∵c=4,∴b=3.∴椭圆的方程为252x+92y=1.答案:252x+92y=112.已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠PF1F2=90°,∠PF2F1=30°,则椭圆的离心率是__________.解析:因为e=ac=ac22=||||221PFPFc,于是在△PF1F2中，由正弦定理知e=30sin90sin60sin=33.答案:3313.经过点M(10,38),渐近线方程为y=±31x的双曲线方程为__________.分析:本题考查依据条件求双曲线的方程.解:设双曲线的方程为(x－3y)(x+3y)=m(m∈R,且m≠0),因双曲线过点M(10,38),所以有(10－3×38)(10+3×38)=m,得m=36.所以双曲线方程为x2－9y2=36,即362x－42y=1.答案:362x－42y=114.方程kx42+12ky=1表示的曲线为C，给出下列四个命题:①曲线C不可能是圆；②若1k4,则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则k1或k4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k25.其中正确的命题是__________.解析:当4－k=k－1,即k=25时表示圆，否定命题①,显然k=25∈(1,4),∴否定命题②；若曲线C为双曲线，则有(4－k)(k－1)0,即4k或k1,故命题③正确；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4－kk－10,解得1k25,说明命题④正确.答案:③④三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设椭圆的中心为坐标原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程.xyABFO解:依题意，设所求椭圆方程为22ax+22by=1,∵椭圆右焦点F(c,0)与短轴两端点A、B连成60°的角，如图，则∠AFB=60°,△AFB为等边三角形，于是有a=2b.①又由两准线间的距离等于83，得2222baa=83.②联立①②两方程，解得a=6,b=3.故所求椭圆方程为362x+92y=1.16.(本小题满分10分)已知椭圆162x+42y=1,过点P(2，1)引一条弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程.PA(,)xyB(,)xy21212-2-4xyO解:如图，设弦与椭圆的两交点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2).又P(2,1),∴.164,16422222121