高二数学下学期期末联考试题

高二数学下学期期末联考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．祝各位同学考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若),0(,ba，则“122ba”是“baab1”的（）．（A）必要非充分条件；（B）充分非必要条件；（C）充要条件；（D）既不充分也不必要条件．2．经过点（0，0），且与以（2，－1）为方向向量的直线垂直的直线方程为（）．（A）02yx；（B）02yx；（C）02yx；（D）02yx．3．已知动点P（x，y）满足yxyx22)1(，则点P的轨迹是（）．（A）椭圆；（B）双曲线；（C）抛物线；（D）两相交直线．4．（文科）给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行．其中真命题的个数是（）．（A）4；（B）3；（C）2；（D）1．（理科）对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（）．（A）平行；（B）相交；（C）垂直；（D）互为异面直线．5．若关于x的不等式axx11的解集为，则实数a的取值范围为（）．（A）)2,(；（B）]2,(；（C）),2(；（D）),2[．6．已知直线l：2axy与以A（1，4）、B（3，1）为端点的线段相交，则实数a的取值范围是（）．（A）31a；（B）231a；（C）2a；（D）31a或2a．BCAP7．已知圆C：4)2()(22yax)0(a及直线l：03yx．当直线l被圆C截得的弦长为32时，则a（）．（A）2；（B）22；（C）12；（D）12．8．已知点A（3，2），F为抛物线xy22的焦点，点P在抛物线上移动，当PFPA取得最小值时，点P的坐标是（）．（A）（0，0）；（B）（2，2）；（C）（－2，－2）（D）（2，0）．9．（文科）已知0a，0b，121ba，则ba的最小值是（）．（A）24；（B）223；（C）22；（D）5．（理科）已知4x，则42542xxxy有（）．（A）最大值45；（B）最小值45；（C）最大值1；（D）最小值1．10．点P是双曲线112422yx上的一点，1F和2F分别是双曲线的左、右焦点，021PFPF，则21PFF的面积是（）．（A）24；（B）16；（C）8；（D）12．11．如图1，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90，且PA＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成的角是（）．（A）21arctan；（B）2arctan；（C）32arctan；（D）3arctan．图112．（文科）已知椭圆)0(12222babyax的左，右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上，且213PFPF，则此椭圆的离心率的最小值为（）．（A）32；（B）21；（C）31；（D）41．PMNABCD（理科）已知E、F是椭圆12422yx的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠EPF的最大值是（）．（A）15；（B）30；（C）45；（D）60．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．m，n是空间两条不同直线，,是两个不同平面，下面有四个命题：①若m，//n，//，则nm；②若nm，//，m，则//n；③若nm，//，//m，则n；④若m，nm//，//，则n．其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）14．对于圆1)1(22yx上任一点),(yxP，不等式0myx恒成立，则实数m的取值范围．15．设yx,满足约束条件：,02,02,1yxyxyx则目标函数yxz2的最大值是．16．已知抛物线088222yxyxyx的对称轴为0yx，焦点为（1，1），则此抛物线的准线方程是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设0a，解关于x的不等式：11)2(xxa．18．（12分）过抛物线pxy22的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点A、B，经过点A和抛物线顶点的直线交准线于点M．求证：（Ⅰ）2pyyBA；（Ⅱ）直线MB平行于抛物线的对称轴．xPBAONM19．（12分）如图2，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN⊥CD．（Ⅱ）在棱PD上是否存在一点E，使得图2AE∥平面PMC？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图3，过圆222Ryx上的动点P向圆222ryx（0rR）引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点，求△MON面积的最小值．21．（12分）已知Rba,，1x，求证：22222)()1(babxxax．22．（14分）文科做（Ⅰ）、（Ⅱ）；理科做（Ⅰ）、（Ⅲ）．图3已知点B（2，0），)22,0(OA，O为坐标原点，动点P满足34OAOPOAOP．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）当m为何值时，直线l：mxy3与轨迹C相交于不同的两点M、N，且满足BNBM？（Ⅲ）是否存在直线l：)0(kmkxy与轨迹C相交于不同的两点M、N，且满足BNBM？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案与提示:一、选择题1—5BDBCB；6—12BCBBDBB．提示：1．由0)1)(1(10,10122babababaab1；反之由0)1)(1(ba不能推得10,10ba．故“122ba”是“baab1”的充分非必要条件．选（B）．2．由题设知已知直线的斜率为21，∴所求直线的斜率为2；又所求直线过原点，故02yx为所求．选（D）．3．由题设知动点P到定点（1，0）的距离和它到定直线0yx的距离的比是常数2，根据双曲线的第二定义可得点P的轨迹为双曲线．选（B）．4．（文科）①、④正确，选（C）．（理科）对于任意的直线l与平面，若l在平面内，则存在直线m⊥l；若l不在平面内，且l⊥，则平面内任意一条直线都垂直于l；若l不在平面内，且l与不垂直，则它的射影在平面内为一条直线，在平面内必有直线m垂直于它的射影，则m⊥l．故选（C）．5．由2)1()1(11xxxx知2a．选（B）．6．由A（1，4）、B（3，1）在直线l上或其异侧得0)13)(2(aa．解得231a．选（B）．7．设截得的弦为AB，圆心为)2,(aC，作ABCH于H，则由平几知识得1CH．DPACB由此得1232aCH，解得12a．选（C）．8．点A在抛物线含焦点区域，过A作AP垂直于抛物线的准线交抛物线于点P，则由抛物线的定义知点P（2，2）为所求点．选（B）．9．（文科）22323)21)((abbabababa，选（B）．（理科）令)2(2txt，则)1(214254)(2ttxxxtf．)(tf在),2[上是单调递增函数，故y的最小值是45)2(f．选（B）．10．由021PFPF得64422221cPFPF，4221aPFPF．∴2121PFFS21PFPF＝12．选（D）．11．如图，过B作BD∥CA，且满足BD＝CA，则∠PBD为PB与AC所成的角．易得四边形ADBC为正方形，由PA⊥平面ABC得BDPD．在Rt△PDB中，aPD2，aDB，2tanDBPDPBD．选（B）．12．（文科）由题设和焦半径公式得)(442221PexaPFPFPFa．axP0．∴eaexaP22．即21e．选（B）．（理科）不妨设右准线l交x轴于点A，由平几知识知过E、F的圆且与l相切于点P时，∠EPF最大．由圆幂定理得62232AFAEAP．易得∠FPA＝30，∠EPA＝60，从而∠EPF＝30为所求最大值，故选（B）．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．①、④；14．,12[）；15．35；16．02yx．提示：13．②、③为假命题；①、④为真命题．14．设点)sin1,(cosP，由题设得0sin1cosm．即sin1cosum恒成立．而211)4sin(2xu，AyxOx+y=12x-y=0x-2y=02x+y=0∴21m．故m的取值范围为,12[）．15．如图，作出不等式表示的可行域（阴影部分）和直线l：02yx，将l向右上方平行移动，使其经过可行域内的点Ａ)31,32(时，yxz2取得最大值．故当32x，31y时，35maxz．16．对称轴0yx与抛物线的交点（0，0）为抛物线的顶点，且抛物线的准线垂直于对称轴，焦点（1，1）关于顶点（0，0）的对称点（－1，－1）在准线上，故所求准线方程为02yx．三、解答题17．不等式整理得01)12()1(xaxa．当1a时，不等式为01)112)(1(xaaxa．……………（3分）①当10a时，1112aa，原不等式解集为),1()112,(aa；……………（6分）②当1a时，不等式解集为),1(；……………（9分）③当1a时，1112aa，原不等式解集为)112,1(aa．……………（12分）18．（Ⅰ）AB方程为2pmyx，代入抛物线pxy22方程得0222ppmyy．……………（3分）由韦达定理得2pyyBA．……………（5分）（Ⅱ）OA方程为xxyyAA，与准线方程联立解得M)2,2(AAxpyp．………（8分）OEDCBANMP∴BBAAAAAMyyppypyypxpyy222222．……………（11分）故直线MB平行于抛物线的对称轴．……………（12分）19．（Ⅰ）取AC的中点O，连结NO，MO，由N为PC的中点得NO∥PA．……………（2分）又PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD．……………（4分）又∵OM⊥AB，由三垂线定理得AB⊥MN．又∵CD∥AB，∴MN⊥CD．……………（6分）（Ⅱ）存在点E，使得AE∥平面PMC．此时点E为PD的中点．……………（8分）证明如下：取PD的中点E，连结NE，由N是PC的中点得NE∥CD，CDNE21．又MA∥CD，CDMA21，∴MA∥NE，MA＝NE．由此可知四边形MNEA是平行四边形，∴AE∥MN．由MN平面PMC，AE平面PMC，∴AE∥平面PMC．……………（12分）20．设),(00yxP为圆222Ryx上任一点，则cos0Rx，sin0Ry．由题设知O、A、P、B在以OP为直径的圆上，该方程为220202020)2()2()2(yxyyxx．……………（4分）而AB是圆222ryx和以OP为直径的圆的公共弦，将这两圆方程相减得直线AB的方程为200ryyxx．∴)0,(02xrM，),0(02yrN．……………（8分）242440042sinsincos2221RrRrRRryxrONOMSMON．故△MON面积的最小值为24Rr．……………（12分）21．∵22222)()1(babxxaxabbxxax2)1