高二数学同步测试—简单几何体(4)

高中学生学科素质训练高二数学同步测试—简单几何体（4）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是（）A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥2．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱3．如图，棱锥P-ABCD的高PO＝3，截面积A’B’C’D’平行于底面ABCD，PO与截面交于O’，且OO’＝2。如果四边形ABCD的面积为36，则四边形A’B’C’D’的面积为（）A．12B．16C．4D．84．一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为（）A．24B．22C．18D．165．在棱长为1的正方体AC1中，对角线AC1在六个面上的射影长度总和是（）A．36B．26C．6D．636．若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是（）A．2B．4C．6D．8PABCDOA'B'C'D'O'7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）A．33aB．43aC．63aD．123a8．已知一个简单多面体的每个面均为五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F和顶点数V分别等于（）A．F=6,V=26B．F=8,V=24C．F=12,V=20D．F=20,V=129．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至把容器注满。在注水过程中水面的高度曲线如右图所示，其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的形状是（）A．B．C．D．10．一个水平放置的圆柱形贮油桶，桶内有油部分占底面一头的圆周长的41，则油桶直立时，油的高度与桶的高之比是（）A．41B．2141C．81D．218111．平行六面体ABCD-A´B´C´D´的六个面都是菱形，那么顶点B在平面ACB´上的射影一定是⊿ACB´的A．重心B．外心C．内心D．垂心12．棱长为a的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则a．H．h．d的大小关系正确的是（）A．dhHaB．dHhaC．HdhaD．Hhda二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果．13．正方体1111DCBAABCD中，棱长为a，E是1AA的中点，在对角面DDBB11上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为.14．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，这样的三棱锥体积为（写出一个可能值）．空x(时间)PQ满y(水量)O15．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于．（结果用反三角函数值表示）16．如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件____________时，有A1B⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．)三、解答题：本大题满分74分．17．（10分）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,两条侧棱长为213,试求第三条侧棱长的取值范围．18．（12分）今年庄稼丰收，这些粮食往哪儿放呢？东东爹想了个好办法：拿一块长方形木板，借助两面墙，在偏屋的墙角处围一个直三棱柱的谷仓。而木板可以立着放，可以横着放，怎样放装粮食多呢？19．（12分）长方体的底面积是4，对角线长是4，求长方体侧面积的最大值B1C1A1D1BACDABCD20．（12分）已知简单多面体的顶点数．面数．数分别为V．F．E．多面体的各面为正x边形，过同一顶点的面数为y．求证：.21111Eyx21．（14分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a．（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论22．（14分）如图，在三棱锥ABC—S中，SA平面ABC，1ACAB，2SA，D为BC的中点．（1）判断AD与SB能否垂直，并说明理由；（2）若三棱锥ABC—S的体积为63，且BAC为钝角，求二面角ABC——S的平面角的正切值；（3）在（Ⅱ）的条件下，求点A到平面SBC的距离．（四）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．D2．C3．C4．D5．B6．A7．C8．C9．C10．B11．B12．B6．满足条件的四面体只有如下两种情形：7．解：该内接正八面体的棱长为a22，它的体积为.23612122231aaa选C10．设圆柱的底面半径为R，高为h，油桶直立时油面的高度为x，则.,21412221241RxxRhRR选B．11．解：∵BA=BC=BB´,∴B在平面ACB´上的射影到三个顶点的距离也相等，即射影为⊿ACB´的外心。答案：B。12．易得.,,618226272362436aadaahaaH∴dHha.选B．二、填空题：本大题满分16分，每小题4分13．a2314．24215．552arcsin55arccos或16．AC⊥BD,或AB=AD且BC=DC13．解：321323312322A1ABB1D1C1CDO1OEM,,,11BBBBDBBACBDAC.11DDBBAC面设AC∩BD=O，则AO=CO．∴平面DDBB11是线段AC的垂直平分面，∴C是A关于平面DDBB11的对称点。连CE交面DDBB11于M，则M就是要求的点，这时AM+ME最小。又AM=CM,∴AM+ME的最小值就是CE的长，而2412222aaAEACCE=a23,∴AM+ME的最小值为a23．三、解答题：本大题满分74分．17．解:如图,四面体ABCD中,AB=BC=CA=1（2分）,DA=DC=213（4分）,只有棱DB的长x是可变的．在三角形ACD中,M为AC的中点,MD=32121322．MB=23（6分）．由MF-MBBDMD+MB（8分）,(MF=MD)得:.23323BD（10分）18．解：用直尺测出木板的长为a，宽为b，知道ab0，又知道两墙面所成二面角为（2分）．设b作底边，a作直三棱柱的侧棱，底面另两边为x,y,则,cos2,sin22221xyyxbaxyV（4分）,2.sincos4222sin2xybyxxyaVaV（6分）,cot,2241sin4sincos42abVbaVaV得（8分）则当x=y时，.cot2241maxabV（10分）同理，若a作底边，有,cot2241baV当x=y时，.cot2241maxbaV,,22abbaba∴.cot2241maxbaVABCDFM所以把长边放在底面，短边作侧棱，且围成底面是等腰三角形时，容积最大。（12分）19．解：设长方体的底面长，宽分别为x,y,高为z．（2分）则)2......(4),1.......(42222zyxxy由：（1）、（2），得222)x4x(24x16x16z。（4分）∵,4x4x∴]22,0(z,22z即.（6分）∵)z24(z2z24z2z)yx(2S222侧.（8分）将22222z24)z()z24(z的二次函数视为2z的二次函数，它的增区间是[0，12].（10分）由于]22,0(z，故当时8z2，)z24(z22取最大值128.∴侧S的最大值为216.（12分）20．（12分）证明：由题设，有xFyVxFEEFV22222222ExEyEEyVxEFEFV，由此得到所证等式.21．(14分)．（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．证法二：连结A1C1，则A1C=A1B．∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．（4分）（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离．在Rt△ADC中，AC=2CD=.23,aADa∴所求的距离.43aACADCDDE（9分）解法二：设点D到平面ACC1的距离为x，∵体积111ACCDACDCVV.21318331112xCCaCCa,43ax即点D到平面ACC1的距离为a43．（9分）（Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1．（14分）证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1．（14分）22．解：（1）因为SB在底面ABC上的射影AB与AD不垂直，否则与AB=AC且D为BC的中点矛盾，所以AD与SB不垂直；（4分）（2）设BAC，则632121312sinV解得23sin，所以060（舍），0120．SA平面ABC，AB=AC，D为BC的中点BCSDBCAD,，则SDA是二面角S—BC—A的平面角．在SDARt中，4ADSASDAtan,故二面角的正切值为４；（9分）（3）由（2）知，BC平面SDA，所以平面SBC平面SDA，过点A作AESD，则AE平面SBC，于是点A到平面SBC的距离为AE,从而17172SDAADAEsin即A到平面SBC的距离为17172．（14分）