高二数学期中试卷答案

上海交通大学附属中学2007-2008学年度第一学期高二数学期中试卷本试卷共有22道试题，满分100分，考试时间90分钟。请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上（本试卷允许使用计算器。凡属用计算器所得之值，请精确到小数点后3位）命题：侯磊审核：杨逸峰一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。1、已知矩阵1012A，2413B，则2A－3B=____412513_____________。2、已知112a，*11()nnnaanNa，则4a____941290_____________。3、已知向量AB=(k,1)，AC=(1,0)，△ABC是直角三角形，则k=___0或1_________。4、已知向量a和b夹角为120°，且|a|=2|b|=5，则（2a－b）·a=____2254_______。5、已知点P分有向线段21PP的比是2，则P2分有向线段1PP所成的比是-3。6、e为非零向量，3ABe，5CDe，且||||BCAD，则四边形ABCD的形状是等腰梯形。7、由lim11nnn，lim122nnnn，lim1233nnnnn，…可得的归纳猜想是______*lim12,nnnnnmmmN_____________________。8、若22121212...232323nnnS，则limnnS_________2_________。9、设数列{}na的前n项和为nS，则下列命题中正确的是__1、2、4_______（填写正确命题的编号）。（1）2(,)nSanbnabR，则{}na为等差数列；（2）数列{}na为等差数列，则必存在实数,kl使得naknl；（3）{}na为等差数列，则数列()nanbccR为等比数列；（4）{}na为等比数列，且lim5nnS，则lim0nna10、用数学归纳法证明“1+21+31+…+121n＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k项。11、已知a、b为两个非零向量，有以下命题：①2a=2b，②a·b=2b，③|a|=|b|且a∥b，以其中两个为条件，一个为结论的真命题有__2_______个。12、对n个向量a1→，a2→，……，an→，若存在n个不全为零的实数k1，k2，……，kn，使得k1a1→＋k2a2→＋……＋knan→＝0，则称向量a1→，a2→，……，an→是“线性相关”的，按此规定，能说明平面向量1(2,0)a，2(1,1)a，3(2,2)a“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取__-2、2、1__________。二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。13、在100和200之间能被3整除的所有数的和是(A)(A)4950(B)9900(C)4800(D)960014、下列命题正确的是(C)(A)向量AB与CD是平行向量，则直线AB与CD平行(B)设A、B、C、D是某个四边形的四个顶点，则这个四边形是平行四边形的充要条件是AB=DC(C)非零向量a与b平行，则a与b方向相同或相反(D)单位向量都相等15、G为△ABC内一点，且满足AGBGCG0，则G为△ABC的(D)(A)外心(B)内心(C)垂心(D)重心16、数列{}na满足递推公式*14()nnaanN，则下列叙述正确的是(D)(A)数列{}na是单调递增数列(B)数列{}na极限必不存在(C)数列{}na的前n项和Sn=2n(D)以上都不对三、解答题（本大题满分52分）本大题共有6小题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17、（本题满分6分）已知矩阵121A，111B，4610C，求：(AB)C和(3A-2C)B。解：18()()821618ABCABC5555(32)611166617171717ACB18、（本题满分8分）数列{an}的前n项和Sn=n2-7n-8，（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{|an|}的前n项和Tn。解：(1)1121nnnSSnaSn，得282141nnnan。（2）0na得4n，所以3324nnnSnTSSn，227837324nnnnTnnn。19、（本题满分8分）已知数列{an}是等比数列，首项a1＝8，公比q0，令bn＝log2an，设Sn为{bn}的前n项和，若数列{bn}的前7项的和S7最大，且S7≠S8，求数列{an}的公比q的取值范围。解：由题意得67178111110101aaqaaqqq，解得：317222q。20、（本题满分10分）已知向量OP=（2，1），OA=（1，7），OB=（5，1），设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），求XAXB的最小值及取到最小值时X点的坐标。解：设(2,)OXkOPkk，则2(12)(52)(7)(1)5(2)8XAXBkkkkk，则当k=2时，XAXB取到最小值-8，此时(4,2)OX，即X点坐标(4,2)。21、（本题满分10分）如图,连接平行四边形ABCD的一个顶点B与AD、DC边的中点E、F,BE、BF分别与AC交于R、T两点,（1）设ABa，ADb，ARAC，试用a，b和表示ER、EB（不需要求出）（2）求证：AR=RT=TC。解：（1）11()()22ERbabab12EBab。（2）证明：E、R、B共线，所以1(1)2ARba，得2，得13，即AR=1/3AC，同理TC＝1/3AC，所以AR=RT=TC。22、（本题满分10分）已知二次项系数为正的二次函数)(xf对任意Rx，都有)1()1(xfxf成立，设向量a（sinx，2），b（2sinx，21），c（cos2x，1），d（1，2），当x[0，π]时，求不等式f（ab）＞f（cd）的解集。解：)(xf开口向上，对称轴x=1，所以f（ab）＞f（cd）|1||1|abcd，即2|2sin11||cos221|xx，整理得222sin2cosxx，所以344x。