高二数学第二学期月考试题

722133n高二数学第二学期月考试题2008.5一、填空题（每小题5分）1．在ABC中,60,8,5Cba,则CABC的值为202．设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa1053．在ABC中，已知433a，b＝4，A＝30°，则sinB＝324．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为35．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=3,a=3,b=1，则c=26．为等差数列na的前n项和，若5,10105SS,则公差为-1（用数字作答）7．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝648．若互不相等的实数,,abc成等差数列，,,cab成等比数列，且310abc，则a-49．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为310．在数列｛an｝中，若a1=1,an=2an-1+3(n≥2),则该数列的通项an=123n11．△ABC中，,3,3ABC则△ABC的周长的最大值是912．在n1和1n之间插入n个正数，使这2n个数依次成等比数列，则插入的n个数之积为2)1(nnn（用含正整数n的式子表示）13．求和=14．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；从第2堆开始，从上至下第一层总是一个球，第2,3,4,层分别按如图所示方式固定摆放，第n堆共有n层乒乓球。以()fn表示第n堆的乒乓球总数，则)3(f10；)(nf6)2)(1(nnn（答案用n表示）二、解答题（15—18每小题15分，19题14分，20题16分）15．若nS是公差不为0的等差数列na的前n项和，且124,,SSS成等比数列（Ⅰ）求数列124,,SSS的公比；（7分）（Ⅱ）2S=4，求na的通项公式。（8分）解：（Ⅰ）设数列na的公差为d,由题意，得2214SSS所以2111(2)(46)adaad，因为0d，所以12da，故公比214SqS（Ⅱ）因为2121114,2,224,SdaSaaa所以11,2ad，因此21(1)21.aandn16．已知锐角△ABC中，sin（A+B）=53，sin（A－B）=51.（1）求证：tanA=2tanB；（5分）（2）设AB=3，求AB边上的高（10分）解析：（1）证明：∵sin（A+B）=53，sin（A－B）=51，∴51sincoscossin53sincoscossinBABABABABABABAtantan51sincos52cossin=2.∴tanA=2tanB.（2）解：2π＜A+B＜π，∴sin（A+B）=53.…第二层第三层第四层∴tan（A+B）=－43，即BABAtantan1tantan=－43.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=262（负值舍去）.得tanB=262，∴tanA=2tanB=2+6.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=ACDtan+BCDtan=623CD.由AB=3得CD=2+6，所以AB边上的高为2+6.17．数列na的前n项和记为11,1,211nnnSaaSn（Ⅰ）求na的通项公式；（7分）（Ⅱ）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求nT（8分）解：（Ⅰ）由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得112,32nnnnnaaaaan又21213aS∴213aa故na是首项为1，公比为3得等比数列∴13nna（Ⅱ）设nb的公比为d由315T得，可得12315bbb，可得25b故可设135,5bdbd又1231,3,9aaa由题意可得2515953dd解得122,10dd∵等差数列nb的各项为正，∴0d∴2d∴213222nnnTnnn18．已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上。（Ⅰ）、求数列{}na的通项公式；（8分）（Ⅱ）、设11nnnbaa，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m；（7分）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上，所以nS＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－)1(2)132nn（＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（nN）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13nnnaab＝5)1(6)56(3nn＝)161561(21nn，故Tn＝niib1＝21)161561(...)13171()711(nn＝21（1－161n）.因此，要使21（1－161n）20m（nN）成立的m,必须且仅须满足21≤20m，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.19．如图所示，已知半圆的直径为2，点C为直径AB延长线上一点，满足BC=1，P为半圆上一个动点，以PC为邻边作正三角形PCD，圆心O与D分别在PC的两侧，（1）若POB试将四边形OPDC的面积y表示为的函数；（6分）（2）求四边形OPDC的面积最大值（8分）解：（1）在POC中，由余弦定理得cos2222OCOPOCOPPCcos452)cos45(43sin2121PCDOPCSSy435)3sin(20（2）当23，即65时4352maxy答：求四边形OPDC的面积最大值为4352。20．已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（5分）（II）求数列na的通项公式；（5分）（II）若数列nb满足12111*44...4(1)(),nnbbbbnanN证明nb是等差数列（6分）解：（I）证明：2132,nnnaaa21112*2112(),1,3,2().nnnnnnnnaaaaaaaanNaa1nnaa是以21aa2为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得*12(),nnnaanN112211()()...()nnnnnaaaaaaaa12*22...2121().nnnnN（III）证明：1211144...4(1),nnbbbbna12(...)42,nnbbbnb122[(...)],nnbbbnnb①12112[(...)(1)](1).nnnbbbbnnb②②－①，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20.nnnbnb③21(1)20.nnnbnb④④－③，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbbnNnb是等差数列。COABPD