高二数学(下)期末质量检查(理科)试卷

高二数学（下）期末质量检查（理科）试卷命题人：厦门六中徐福生审定：厦门教育学院数学科本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分为150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）A.12条B.6条C.4条D.2条2、(a+b)12n(nN*)的展开式中二项式系数最大的项是（）A.第n项B.第n+1项C.第n+2项D.第n+1或n+2项3、“直线m、n与平面所成的角相等”是“m∥n”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、A22+A23+A24+A25+…+A299+A2100等于（）A.2C2100B.2C2101C.2C3101D.2C31025、已知直线m、n和平面、，则⊥的一个充分条件是（）A.m⊥n，m∥，n∥；B.m⊥n，=m，n；C.m∥n，n⊥，m；D.m∥n，m⊥，n⊥.6、在北纬60°圈上有甲、乙两地，它们在纬度圈上的弧长等于2R(R是地球的半径)，则这两地的球面距离为（）A.61RB.21RC.31RD.R7、AC是平面内的一条直线，P为外一点，PA=2,P到的距离是1，记AC与PA所成的角为，则必有（）A.30B.cos≤21C.sin≥22D.tan≥338、有5条线段其长度分别为3、5、6、9、10，任取其中的三条线段头尾相连组成三角形，则最多可组成三角形的个数是（）A．4B．8C．10D．69、某人对同一目标进行射击，每次射击的命中率都是0.25，若要使至少命中一次的概率不小于0.75，则至少应射击（）A.4次B.5次C.6次D.8次10、正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（）A.22aB.32aC.22aD.32a11、在100，101，……，999这些数中，各数位的数字按严格递增或严格递减顺序排列的数的个数是（）A.120B.168C.204D.21612、平面M与平面N相交成锐角，M内一个圆在N内的射影是离心率为21的椭圆，则cos等于（）A.21B.23C.22D.33第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(每小题4分，共16分)13、若A、B为两相互独立事件，且P(A)=0.4，P(A+B)=0.7，则P(B)=_________；14、若(3x-1)7=a7x7+a6x6+……+a1x+a0，则a1+a2+……+a7=_________；15、若一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6，则它的面数F=______；16、已知二面角—l—为60，点A，点A到平面的距离为3，那么点A在面上的射影A'到平面的距离为_________。三.解答题：（本大题共74分）17、（本小题满分12分）某小组有男、女学生共13人，现从中选2人去完成一项任务。设每人当选的可能性相同，若选出的两人性别相同的概率为3919，求⑴选出的两人性别不同的概率；⑵该班男、女生各有多少人。18、（本小题满分12分）四面体ABCD中，对棱AD⊥BC，对棱AB⊥CD，试证明：AC⊥BD.19、（本小题满分12分）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲能破译出密码的概率是1/3，乙能破译出密码的概率是1/4，试求：①甲、乙两人都译不出密码的概率；②甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率；③甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率.20、（本小题满分12分）设a1=1，a2=1+q，a3=1+q+q2，……，an=1+q+q2+…+q1n(nN*，q≠±1)，记An=C1na1+C2na2+…+Cnnan⑴用q和n表示An；⑵又设b1+b2+…+bn=nnA2，求证：{bn}为等比数列.21、（本小题满分12分）直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB=90°，D为AB的中点，AO=BO=BB1=2.①求证：BO1⊥AB1；②求证：BO1∥平面OA1D；③求点B到平面OA1D的距离。O1B1A1OBAD22、（本小题满分14分）海岛O上有一座海拔1000米的山，山顶上有一个观察站A。上午11点该观察站测得一轮船在海岛O的北60°东C处，俯角为30°；上午11点10分又测得该船在海岛的北60°西D处，俯角60°，问：⑴这船的速度是每小时多少公里？⑵如果船的航向及船速不变，它何时到达岛的正西方向？到达正西方向时所在点E离岛多少公里？高二数学（下）期末质量检查（理科）答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1、B2、D3、A4、C5、C6、C7、D8、D9、B10、A11、C12、B第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(每小题4分，共16分)13、0.514、12915、816、23三.解答题：（本大题共74分）17、（本小题满分12分）解：⑴记事件A为从男、女学生13人中任选出两人的性别相同，即P（A）=3919，则事件A为从男、女学生13人中任选出两人的性别不同，…………3分则P（A）=1-P（A）=1-3919=3920。……………………………………5分⑵设该班男生有x人，则女生有(13-x)人，（0x13，xN）………6分则2132x132xCCC=3919，………………………………………………………9分得x2-13x+40=0，解得x=8或x=5，………………………………………11分故该班男生有8人，女生有5人；或该班男生有5人，女生有8人。…12分18、（本小题满分12分）证法1：作AO⊥平面BCD于O，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD内的射影.……………………………………………………3分∵CD⊥AB,CD平面BCD∴CD⊥BO（三垂线定理的逆定理）…………6分同理BC⊥DO∴O为△BCD的垂心…………………………9分从而BD⊥CO∴BD⊥AC（三垂线定理），即AC⊥BD…………12分证法2：作出向量AB、AC、AD、BC、BD、CD.∵AD⊥BC，AB⊥CD∴AD·BC=0，AB·CD=0…………………………………4分又AC=AB+BC，BD=BC+CD∴AC·BD=AB·BC+AB·CD+BC2+BC·CD…………8分=AB·CD+BC(AB+BC+CD)=AB·CD+BC·AD=0∴AC⊥BD∴AC⊥BD……………………………………12分19、（本小题满分12分）解：记甲、乙两人独立地破译出密码的事件分别是A、B，则P(A)=31,P(B)=41…………………………………………………………3分（1）甲、乙两人都译不出密码的概率为：P(A·B)=P(A)·P(B)=(1-31)(1-41)=21…………………………6分（2）甲、乙两人中恰有一人能译出密码的概率为：P(A·B+B·A)=P(A·B)+P(B·A)=31(1-41)+41(1-31)=125……9分（3）甲、乙两人中至多有一人能译出密码的概率为：1-P(A·B)=1-31×41=1211……………………………………………12分20、（本小题满分12分）解：(1)∵q≠1∴an=qqn11…………………………………………2分于是An=qq11C1n+qq112C2n+…+qqn11Cnn=q11[(C1n+C2n+…+Cnn)-(C1nq+C2nq2+…+Cnnqn)]……………4分=q11[(C0n+C1n+…+Cnn)-(C0n+C1nq+…+Cnnqn)]=q11[2n-(1+q)n](q≠1).……………………………………………6分(2)b1+b2+…+bn=q11[1-(21q)n]b1+b2+…+b1n=q11[1-(21q)1n]（nN*，n2）相减得:bn=q11[(21q)1n-(21q)n]……………………………8分=q11(21q)1n(21q)=21(21q)1n（nN*，n2）又b1=21，则:bn21(21q)1n（nN*）…………………………10分∴nnbb1=21q(q≠-1)∴{bn}是等比数列.…………………………………………………12分21、（本小题满分12分）证法1：（1）连结OB1，∵OO1⊥平面AOB,∴OO1⊥AO即AO⊥OO1，又AO⊥OB∴AO⊥平面OO1B1B∴OB1为AB1在平面OO1B1B内的射影…2分又OB=BB1∴四边形OO1B1B为正方形∴BO1⊥OB1∴BO1⊥AB1（三垂线定理）………………………………4分（2）连结AO1交OA1于E，再连结DE.∵四边形AA1O1O为矩形,∴E为AO1的中点.又D为AB的中点，∴BO1∥DE…………………………6分又DE平面OA1D，BO1平面OA1D∴BO1∥平面OA1D…………………………………………8分(3)令B点到平面OA1D的距离为hO1B1A1OBAD∵OA1=22，A1D=6，OD=2∴OD2+A1D2=OA21∴△A1DO为Rt△∴SDOA1=21·A1D·OD=3∴VDOAB1=31·SDOA1·h=33h………………………………10分又SODB=21·SAOB=1∴VODBA1=31·SODB·A1A=31×1×2=32又VDOAB1=VODBA1∴33h=32∴h=332即B点到平面OA1D的距离为332.……………………12分证法2：以O1为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则:O1(0,0,0),A1(2,0,0),B1(0,2,0),A(2,0,2),B(0,2,2),O(0,0,2),D(1,1,2).…………………………………2分⑴∵1AB=(-2,2,-2),1BO=(0,-2,-2)∴1AB·1BO=(-2)·0+2·(-2)+(-2)·(-2)=0∴1BO⊥1AB∴BO1⊥AB1……………………4分⑵取OA1的中点为E，则E点的坐标是(1,0,1)，∴DE=(0,-1,-1),又1BO=(0,-2,-2)∴1BO=2DE又BO1、DE不共线，∴BO1∥DE……………………………………………………6分又DE平面OA1D，BO1平面OA1D∴BO1∥平面OA1D……………………………………………8分⑶令平面OA1D的法向量为n=(x，y，z)，则n⊥OA1，n⊥DA1∴n·OA1=0,n·DA1=0又OA1=(-2,0,2)DA1=(-1,1,2)∴02022zyxzxzxyzx2取n=(1,-1,1)………………………………………………10分又BA1=(-2,2,2)∴B点到平面OA1D的距离为:nnBA1=32=332…………12分22、（本小题满分14分）解：(1)如图所示，利用Rt△AOC和Rt△AOD可求得OC=3(公里)，OD=33(公里)…………………………………………2分在△ODC中，由余弦定理，得CD2=OC2+OD2-2·OC·ODcos120°=(3)2+(33)2-23·33(-21)=939∴DC=339(公里)……………………………………4分∴v=6010DC=6·DC=6339=239(公里/小时)…………6分(2)如图所示，过C作CF∥OD，则∠CFE=∠DOE=30°∴CO=CF=3……………………8分而△OED∽△FECxyOCD∴CFOD=EFOE，即333=EFOE∴OE=31EF作CM⊥OF，则OM=21OF于是OE=OM=MF在Rt△OMC中，OM=OC·cos30°∴OE=21OF=OM=OC·cos30°=3·23=23(公里)…………10分在△EOC中，由余弦定理，得CE2=OE2+OC2-2·OE·OCcos150°=(23)2+(3)2-2·23·3(-23)=439∴CE=239…………………………………………………………12分∴t=vCE=3922/39=41(小时)因此，若船的速