高二上学期联合期中考试数学试卷

高二上学期联合期中考试数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共100分。考试时间100分钟。第I卷（选择题共40分）一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分）1．下列命题中，正确命题的个数是（A）（1）各个侧面都是矩形的棱柱是长方体（2）三棱锥的表面中最多有三个直角三角形（3）简单多面体就是凸多面体（4）过球面上二个不同的点只能作一个大圆Ａ.0个Ｂ.1个Ｃ.2个Ｄ.3个2．在斜棱柱的侧面中，矩形最多有（A）个A．2B．3C．4D．63．已知直线a、b和平面M，则ab//的一个必要不充分条件是（D）A.aMbM////，B.aMbM，C.aMbM//，D.ab、与平面M成等角4．正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为2:6，则侧面与底面的夹角为（D）A．12B．6C．4D．35．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不．正确的是.............................（A）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m，则α⊥β6．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（B）（A）－7（B）7（C）－28（D）287．已知棱长为2的正方体内有一个和各个面都相切的球体，则球体的表面积是（C）（A）8（B）6（C）4（D）28．如果三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（A）（A）240个（B）285个（C）231个（D）243个（16）9．一个骰子连续掷两次，以先后得到的点数m，n为点P(m，n)，那么点P在圆x2+y2=17外部的概率为（D）（A）31（B）32（C）1811（D）181310．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（B）A.()26aB.262aC.()13aD.132a第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）11．102)1(x的展开式中2x的系数是－10，如果展开式中第r4项和第2r项的二项式系数相等，则r等于2.12．边长为2的正方形ABCD在平面α内的射影是EFCD，如果AB与平面α的距离为2，则AC与平面α所成角的大小是30º13．现有甲种电脑56台，乙种电脑42台，如果用分层抽样的方法从中抽取一个容量为14的样本，则乙种电脑应抽样___6_____台．14．三角形ABC的斜边AB在平面a内，直角边AC，BC与平面a所成的角分别为30°、60°，则平面ABC与平面a所成的二面角的正弦值为______1________．15．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为____6___，球的表面积为__________（不计损耗）。16．已知点P，直线、以及平面、、cba，给出下列命题：①若baba//成等角，则与、②若cc，则，//③若//baba，则，④若aa，则，//⑤若相交、异面或、或，则，bababacbca//其中正确命题的序号是_____②⑤________(把所有正确命题的序号都填上)。三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分）17．在学校的科技活动日中，有六件科技作品在展台上排成一排展出.（Ⅰ）求作品甲不在两端的概率；（Ⅱ）求作品甲、乙相邻的概率.解（Ⅰ）作品甲不在两端的概率665514AAAP……………………5分=32；……………………6分（Ⅱ）作品甲、乙相邻的概率662255AAAP……………………11分作品甲、乙相邻的概率为.31…………………………12分18．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=22，∠ACB=90°，M是AA1的中点，N是BC1中点.（Ⅰ）求证：MN∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求二面角B－C1M—A的大小.解：方法一（Ⅰ）取B1C1中点D，连结ND，A1D，所以DN//BB1///AA1，………………1分又，,2121111MAAABBDN所以四边形A1MND为平行四边形，所以MN//A1D；…………3分又1111111,CBADACBAMN平面平面，所以MN//平面A1B1C1；…………5分（Ⅱ）三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以CC1⊥BC，又∠ACB=90°，所以BC⊥平面ACC1A1，…………7分在平面ACC1A1上作CE⊥C1M，交C1M于点E.则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，所以∠BEC为二面角B—C1M—A的平面角.………………9分由于△CEC1与三角形C1A1M相似，所以MCCACCCE1111所以,3342262CE……………………11分所以,23arctan,23tanBECCEBCBEC所以……………………13分即二面角B—C1M—A的大小为23arctan.…………………14分方法二（Ⅰ）如图，以点C为坐标原点，以CB所在直线为Ox轴，CA所在直线为Oy轴，CC1所在直线为Oz轴，建立空间直角坐标系.由已知得)22,2,0(1A、)22,0,2(1B、)22,0,0(1C.)2,2,0(M,)2,0,1(N,)22,0,1(D所以),0,2,1(),0,2,1(1DAMN所以,1DAMN…………2分所以MN//A1N；………………4分又,,1111111CBADACBAMN平面平面所以MN//平面A1B1C1；…………5分（Ⅱ）三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，所以CC1⊥BC，),0,0,2(,,9011CBCACABCACB平面所以又………………7分设垂直于平面BMC1的向量),2,2,2(),22,0,2(),1,,(1BMBCban所以,0,01BMnBCn即,22,2,222,0222babaa解得所以),1,22,2(n……………………………………10分所求二面角的大小,77227222||||,cos,,nBCnBCnCBnCB……………13分即二面角B—C1M—A的大小为.772arccos…………………………14分19．直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBC，E是A1C的中点，EDAC1且交AC于D，AAABBC122。（I）证明：BC11//平面ABC1；（II）证明：AC1平面EDB；（III）求平面AAB1与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）。C1B1A1EDCBA（I）证：三棱柱ABCABC111中BCBC11//，1分又BC平面ABC1，且BC11/平面ABC1，BC11//平面ABC13分（II）证：三棱柱ABCABC111中AAAB1，RtAAB1中ABAB221BCABABC11，是等腰三角形6分E是等腰ABC1底边AC1的中点，ACBE1①又依条件知ACED1②且EDBEE③由①，②，③得AC1平面EDB8分（III）解：AAED1、平面AAC1，且AAED1、不平行，故延长AA1，ED后必相交，设交点为E，连接EF，如下图ABE1是所求的二面角10分依条件易证明RtAEFRtAAC11ABDA1EB1CC1FE为AC1中点，A为AF1中点AFAAAB1ABAABF145AFB190即ABFB112分又AE1平面EFB，EBFBABE1是所求的二面角的平面角13分E为等腰直角三角形ABC1底边中点，ABE145故所求的二面角的大小为4514分