高二级数学平面与空间直线练习题

高二数学同步检测一平面与空间直线说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）1.列命题是真命题的是()A.空间不同三点确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案:D解析:根据公理3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同一直线上的三点,才能确定一个平面,所以A错.如图(1),a,b,c三条直线两两相交,但a,b,c不共面,所以B错误.如图(2),显然四边形ABCD不能确定一个平面.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于()A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对答案:B解析:由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,即∠PQR=30°或150°.3.如右图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC和平面α的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD答案:D解析:CD为平面ABC与平面α的交线.故选D.4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是()答案:C解析:A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS相交;由两条直线异面的判定定理可知C中的PQ与RS异面.5.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是()①a∩b=且a不平行于b②a平面α,b平面β且α∩β=③a平面α,b平面α④不存在平面α,使a平面α且b平面α成立A.①②B.①③C.①④D.③④答案:C解析:根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知,结论④正确.空间不相交的两条直线除平行外就是异面,故对于结论①,既然两直线不平行,则必然异面.分别在两个平面内的两条直线可能平行,故②不正确.平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还可能平行或相交,故③不正确.综上所述,只有①④正确.6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为…()A.180°B.90°C.60°D.45°答案:C解析:把平面图形还原为立体图形，找准A、B、C三点相对位置,可知∠ABC在等边△ABC内.7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是()A.MNaB.MN=aC.MNaD.不能确定答案:C解析:如图,取AC中点P,则MP21BC,NPAD,且MP+NP=21(BC+AD)=aMN,故C正确.8.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.510B.515C.54D.32答案:B解析一:如图(1),取面CC1D1D的中心为H，连结FH、D1H.易知OE∥FH，所以∠D1FH为所求异面直线所成的角.在△FHD1中，FD1=25，FH=23，D1H=22由余弦定理，得∠D1FH的余弦值为515.解析二:如图(2),取BC中点为G.连结GC1、FD1,则GC1∥FD1.再取GC中点为H,连结HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角.在△OEH中，OE=23,HE=45，OH=45.由余弦定理，可得cos∠OEH=515.9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上,则P,Q两点之间的最小距离为()A.1B.23C.2D.3答案:C解析:PQ的最小值应是AB,CD的公垂线段长.易知P,Q分别是AB,CD中点时,PQ⊥AB,PQ⊥CD.在Rt△BQP中,∵BQ=3,BP=1,∴PQ=13=2.10.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是()A.①②③B.②④C.③④D.②③④答案:C解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①②不正确.因为BE∥CN,所以CN与BM所成的角是∠EBM=60°,延长CD至D′,使DD′=DC,则D′N∥DM,∠BND′就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,因为BN=3a,ND′=2a,BD′=5a,所以BN2+D′N2=D′B2,即BN⊥ND′,BN⊥DM.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）11.以下四个命题:①A∈l,A∈α,B∈l,B∈αlα;②A∈α,A∈β,B∈α,B∈βα∩β=AB;③lα,A∈lAa;④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线α与β重合.其中推理正确的序号是__________.答案:①②④解析:由公理1知①正确;由公理2知②正确;由公理3知④正确;而③中直线l可能与平面α相交于A.故③不正确.12.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有____________个.答案:6解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面(不重复),此时平面个数最多.如图,平面PAB,平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个.13.(2006全国重点中学一模,11)给出三个命题:①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行;②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行;③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行.其中不正确的序号是__________.答案:①②解析:在如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1D1⊥D1D,C1D1⊥D1D,即A1D1与D1D,C1D1与D1D所成的角都是90°,但A1D1与C1D1不平行,可知①②不正确,由公理4可知③正确.14.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，如果E、F分别为AB、CC1的中点，那么异面直线A1C与EF所成的角等于_______________.答案:arccos32解析:延长AA1到P，使A1P=21AA1，连结PF，则PF∥A1C，设A1A=a.则PE2=(23a)2+(21a)2=410a2，EF2=(21a)2+a2+(21a)2=46a2，PF2=A1C2=3a2.∴cos∠PEF=322632410463222aaaaa.∴直线A1C与EF所成的角等于arccos32.三、解答题（本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1C1、B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，求证：(1)D、B、F、E四点共面；(2)若直线A1C交平面DBFE于点R，则P、Q、R三点共线.(1)证法一:∵EF是△D1B1C1的中位线,∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD,∴EF∥BD.由公理3知EF、BD确定一个平面,即D、B、F、E四点共面.证法二:延长BF,CC1交于点G,延长DE,CC1交于点G′.G与G′重合DE,BF是相交直线D,B,F,E四点共面.(2)证明:正方体ABCD—A1B1C1D1中，设A1ACC1确定的平面为α,设平面DBFE为β,∵QQCAQQEFQ11又为α、β的公共点.同理,P亦为α、β的公共点,∴可知由公理又21RRCARR∈PQ,即P、Q、R三点共线.点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法.16.如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明E、F、G、H四点共面.(2)m、n满足什么条件时，EFGH是平行四边形?(3)在（2）的条件下，若AC⊥BD，试证明EG=FH.(1)证明:∵AE∶EB=AH∶HD，∴EH∥BD.∵CF∶FB=CG∶GD，∴FG∥BD.∴EH∥FG.∴E、F、G、H四点共面.(2)解:当且仅当EHFG时，四边形EFGH为平行四边形.∵1mmEBAEAEBDEH,∴EH=1mmBD.同理,FG=1nnBD.由EH=FG得m=n.故当m=n时，四边形EFGH为平行四边形.(3)证明:当m=n时，AE∶EB=CF∶FB,∴EF∥AC.又∵AC⊥BD，∴∠FEH是AC与BD所成的角.∴∠FEH=90°.从而EFGH为矩形，∴EG=FH.点评:空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点的连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时,该平行四边形为正方形.17.如图,a,b,c为不共面的三条直线,且相交于一点O,点M,N,P分别在直线a,b,c上,点Q是b上异于N的点,判断MN与PQ的位置关系,并予以证明.证法一:(反证法)假设MN与PQ共面于β,则点M,N,P,Q∈β.cPObObbQN,又点同理,aβ.∴a,b,c共面,与已知a,b,c不共面矛盾.故MN与PQ为异面直线.bQNMba,:0证法二NbQMONQNM且异于又共面于点,,点QMN,cPMONOP平面点P平面MON.故平面MON内一点Q与平面外一点P的连线PQ与平面内不过Q点的直线MN是异面直线.18.如图所示,今有一正方体木料ABCD—A1B1C1D1,其中M,N分别是AB,CB的中点,要过D1,M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?解:作法如下:(1)连结MN并延长交DC的延长线于F,连结D1F交CC1于Q,连结QN;(2)延长NM交DA的延长线于E,连结D1E交A1A于P,连结MP;(3)依次在正方体各个面上画线D1P,PM,MN,NQ,QD1,即为木工师傅所要画的线.19.如图,AB,CD是两条异面直线,AB=CD=3a,E,F分别是线段AD,BC上的点,且ED=2AE,FC=2BF,EF=7a,G∈BD,EG∥AB.(1)求AB与CD所成的角;(2)求△EFG的面积.解:(1)∵ED=2AE,EG∥AB,∴DG=2BG.∵FC=2BF,∴FG∥DC.∴∠EGF即为AB与CD所成的角或其补角.∵AB=CD=3a,EG=2a,GF=a,又EF=7a,∴cos∠EGF=2122742222222aaaaaGFEGEFGFEG.∴∠EGF=120°.∴AB与CD所成的角为60°.(2)S△EFG=21EG·GF·sin120°=21×2a×a×sin120°=23a2.