高2006级数学月考试题(理科)

高2006级数学月考试题(理科)2006.5一.选择题.(每小题5分,共50分)1.已知集合}06|{},3|12||{2xxxBxxA,则BA=()A.]2,1()2,3[B.)1(]2,3(C.)2,1[]2,3(D.]2,1(]3,(2.)cos(2sinlim2xxx=()A.2B.2C.1D.13.已知复数z满足izz42||,则z1的值是()A.i7473B.i7473C.i254253D.i2542534.设等差数列}{na的公差为2,前n项和为nS,则下列结论中正确的是()A.)1(3nnnaSnnB.)1(3nnnaSnnC.)1(nnnaSnnD.)1(nnnaSnn5.在正三棱锥P—ABC中,M、N分别是PB、PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此棱锥侧面与底面所成二面角是()A.36arccosB.66arccosC.3D.46.设函数)3()(),3()(,2cos)(21xfxgxfxgxxf,则函数)(1xg的图象与)(2xg的图象关于()A.直线3x对称B.直线xy对称C.原点对称D.y轴对称7.已知实数yx,满足410)6)(6(xyxyx,则22yx的最小值是()A.26B.18C.23D.48.函数)(xf的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数)(1xf,若0)21(f,则)4(1f等于()A.23B.37C.21D.09.若函数1)1(3)(223kxkkxxf在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是()A.31kB.310kC.31kD.310k10.某种手提保险箱装有6位密码的密码锁,每一个旋钮上显示的数字依次可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的任意一个,现规定,只要一个旋钮上转出一个新数字就为一步,逆时针转和顺时针转都可以,已知一保险箱的密码为631208,现在显示的号码为080127,则要打开箱子,至少需要经过旋转()A.11步B.12步C.13步D.14步二.填空题.(每小题4分,共24分)11.已知函数axaxxf22sincos)(的最小正周期是43,则实数a=.12.4)2(xx的展开式中3x的系数是.13.非零向量a、b满足0)(|,|||2ababa,则a与b所成的角为.14.设数列}{na是公比为q的等比数列,nS是它的前n项和,若}{nS是等差数列,则q=.15.给出下列三个命题:①若1ba,则bbaa11;②若正整数m、n满足nm,则2)(nmnm;③设),(11yxP是圆9:221yxO上的任意一点,圆2O以),(baQ为圆心,半径为1.当1)()(2121ybxa时,圆1O与圆2O相切.其中所有真命题的序号为.16.已知A(1,1)为椭圆15922yx内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点.则|PF1|+|PA|的最大值和最小值分别为.三.解答题.(本大题共6小题,共76分)17.(13分)已知锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且Btan2223bcaac.(1)求:∠B;(2)求:)]10tan(31)[10sin(BB.18.(13分)定义在R上的单调函数)(xf满足)()()(yfxfyxf,且0)1(f.(1)判断)(xf的奇偶性,并加以证明;(2)当1k时,求满足不等式0)1()(2kxxfkxf的x的取值范围.19.(13分)如图示,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=a2,AB=a,点D是AC的中点.(1)求证:平面A1BD⊥平面AA1C1C;(2)求二面角B—A1C1—D的大小;(3)若AB1A1B=E,求四面体C1BED的体积.20.(13分)如图示,一辆车要直行通过某十字路口,这时前方刚好由绿灯转为红灯,该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车直行的概率为32,左转行驶的概率为31.该路口红绿灯转换间隔均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒,一辆左转行驶的车驶出停车线需要20秒.求:(1)前面4辆车恰有2辆左转行驶的概率;(2)该车在第一次绿灯亮起的1分钟内能通过该十字路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口);(3)假设每次由红灯转为绿灯的瞬间,所有排队等候的车辆都同时向前行驶,并用(分钟)表示该车在这十字路口候车的时间,求的数学期望.21.(12分)设双曲线方程为)0,0(12222babyax的一条准线方程为2x,倾斜角为4的直线交双曲线于A、B两点,O为坐标原点,且)(21OBOAOM,直线AB与OM夹角为.(1)当31tan时,求双曲线方程;(2)当53tan时,求b的最大值.22.(12分)已知3)(xaxxf在开区间)22,0(内是增函数.(1)求实数a的取值范围;(2)若数列}{na满足31123),22,0(nnnaaaa,证明:2201nnaa;(3)若从点),(P可向323)(xxxf表示的曲线引三条不同的切线,求,满足的不等式.班次学号姓名考号—————————————密———————————封——————————线—————————————在在在在是在高2006级数学月考试题答卷(理科)2006.5二.填空题.(每小题4分,共24分)三.解答题.(共76分)17.(13分)18.(13分)题号111213141516答案19.(13分)20.(13分)21.(12分)班次学号姓名考号————————————密—————————封————————————线———————————22.(12分)高2006级数学月考试题答案(理科)2006.5一.选择题.(每小题5分,共50分)题号12345678910答案AACCBDBACD二.填空题.(每小题4分,共24分)11.3412.2413.314.115.①②16.26,26三.解答题.(共76分)17.(13分)(1)acbcaB2cos222∴BBcos23tan∴23sinB,故B=60°.(2)50cos50sin350cos70sin)10tan(31)[10sin(BB150cos140sin50cos70cos70sin250cos110cos270sin.18.(13分)(1)令0yx得)0()0()0(fff∴0)0(f令xy则0)()()()0(xfxfxxff∴)()(xfxf.故)(xf是R上的奇函数.(2)由)1(知)1()0(ff,又)(xf为R上的单调函数.∴)(xf为R上的增函数.故0)1()(2kxxfkxf)1()()1()(22xkxfkxfkxxfkxf12xkxkx0)1)(1(01)1(2xkxxkkx∵1k∴10k时,解集为)1,1(k;0k时,解集为),1(;0k时,解集为),1()1,(k.19.(13分)(1)∵AB=BC,D是AC中点.∴AC⊥BD又AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥BD,故BD⊥面A1ACC1.∴面A1BD⊥面A1ACC1.(2)取A1C1中点D1,连DD1,BD1,则DD1⊥A1C1.又DD1为BD1在面ACC1A1内的射影.∴BD1⊥A1C1,则∠BD1D为二面角B—A1C1—D的平面角.在Rt△BDD1中,DD1=A1A=2a.aABBD2323,所以43223tan11aaDDBDDBD.即二面角B—A1C1—D的大小为43arctan.(3)由于E是A1B的中点,所以BDSVVDCABDACBEDC1111131212131111232321212161aaaaBDDDCA.20.(13分)(1)278)31()32(22241CP.(2)2716)31()32()32(3344442CCP.(3)由题意知可取1,2,其分布列为:12P27162711则27382711227161E.21.(12分)(1)依题意22ca,∴ccbca2,2222,双曲线方程为)2(122222cccycx设),(),,(),,(002211yxMyxByxA,∵)(21OBOAOM,∴)],(),[(21),(221100yxyxyx∴2,2210210yyyxxx.又122,1222222222121ccycxccycx,两式相减得:022222212221ccyycxx.即22))(())((21212121cxxxxyyyy.∵14tan2121xxyykAB,∴2200cxykOM.∴31|4||1|tancckkkkABOMABOM.∴3c或6c.故所求双曲线方程为13622yx或1241222yx.(2)由(1)知|4|tancc,∴53|4|cc,∴1025c.∵ccb222,而cccf2)(2在]10,25[c上为增函数,∴10c时,)(cf有最大值80,∴b的最大值为54.22.(12分)解:(1)23)(xaxf,依题意)22,0(x时,0)(xf,即032xa恒成立,∴23)22(32a,所求a的范围是),23[.(2)先用数学归纳法证明)22,0(na①)22,0(1a,已知成立;②假设)22,0(na,那么)23()(2331aafaaannnn,当23a时,)(xf在)22,0(内是增函数,∴22)22()()0(0faffn,即2201na.由①,②可知对于)22,0(,*naNn.再证nnaa1.3312123nnnnnnnaaaaaaa)21(2nnaa,由于)22,0(na,∴)21,0(2na,于是0)21(2nnaa.∴nnaa1.综上,2201nnaa.(3)设切点),(00yxQ,2323)(xxf,切线方程:))(323(0200xxxyy,且300023xxy,将),(P坐标代入切线方程,得))(323(23020300xxxx,化为:023322030xx.①若有三条不同的切线,则方程①有3个相异实根.令2332)(20300xxxF,020066)(xxxF,△0362,∴0.由0)(0xF得两极值点00,0xx且两极值点在x轴上、下各有一个,于是0)()0(FF,即0)2332)(23(33.0)23)(23(3.当0时,23233;当0时,32323.