概率与统计练习

概率与统计练习100分一、选择题(10×5′=50′)1.设导弹发射的事故率为0.01,若发射导弹10次，其中出事故的次数为ξ,则下列结论正确的是()A.Eξ=0.1B.P(ξ=k)=0.01k·0.9910-kC.Dξ=0.1D.P（ξ=k）=Ck100.99k·0.0110-k2.一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为ξ,则下列算式中等于22622214122CCCC的是()A.P(0ξ≤2)B.P(ξ≤1)C.EξD.Dξ3.已知随机变量ξ和η，其中η=12ξ+7,且Eη=34,若ξ的分布列如下表，则m的值为ξ1234P41mn121A.31B.41C.61D.814.一整数等可能地在1、2、…、10中取值，以ξ记除得尽这一整数的正整数的个数，那么Eξ等于()A.2.6B.2.5C.2.7D.2.85.若ξ的分布列为：ξ01Ppq其中p∈(0,1),则()A.Eξ=p,Dξ=p3B.Eξ=p,Dξ=p2C.Eξ=q,Dξ=q2D.Eξ=1-p,Dξ=p-p26.如果ξ是离散型随机变量，η=3ξ+2,那么()A.Eη=3Eξ+2,Dη=9DξB.Eη=3Eξ,Dη=3Dξ+2C.Eη=3Eξ+2,Dη=9Eξ+4D.Eη=3Eξ+4,Dη=3Dξ+27.设随机变量ξ～B（n,P）,且Eξ＝1.6，Dξ=1.28,则()A.n=8,P=0.2B.n=4,P=0.4C.n=5,P=0.32D.n=7,P=0.458.设掷1颗骰子的点数为ξ,则()A.Eξ=3.5,Dξ=3.52B.Eξ=3.5,Dξ=1235C.Eξ=3.5,Dξ=3.5D.Eξ=3.5,Dξ=16359.设离散型随机变量ξ满足Eξ＝-1，Dξ＝3，则E［3(ξ2-2)］等于()A.9B.6C.30D.3610.设随机变量ξ的分布列如下所示：ξ012P316121则函数F(x)=P(ξ≤x)(x∈R)的解析式为()A.F(x)=P(ξ≤x)=)2(3)21(2)10(1)0(0xxxxB.F(x)=P(ξ≤x)=)2(1)21(2)10(3)0(0xxxxC.F(x)=P(ξ≤x)=)2(1)21(21)10(31)0(0xxxxD.F(x)=P(ξ≤x)=)2(21)21(31)10(61)0(0xxxx二、填空题（4×4′=16′）11.已知某离散型随机变量ξ的数学期望Eξ=67，ξ的分布列如下：ξ0123Pa3161B则a=.12.两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5;战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3,那么两名战士得胜希望大的是.13.某人有6把钥匙，其中只有一把能打开门，今任取一把试开，不能打开的除去，则打开此门所需试开次数ξ的数学期望Eξ=.14.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望Eξ=.三、解答题（4×10′+14′=54′）15.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是31.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差.16.某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量.已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km,且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a.(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差.(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.17.某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为101,路段CD发生堵车事件的概率为151).(1)请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小;(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ,求ξ的数学期望Eξ.18.一出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是31.(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了2个交通岗的概率；第17题图(2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差.19.A有一个放有x个红球、y个白球、z个黄球的箱子（x、y、z≥1,x+y+z=6）,B有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定当两球同色时为A胜，异色时为B胜.(1)用x、y、z表示A胜的概率；(2)若又规定当A取红、白、黄而得胜的得分分别为1、2、3；负则得0分，求使A得分的期望最大的x、y、z.概率与统计练习100分参考答案一、选择题1.A∵P(ξ=k)=Ck10·0.01k(1-0.01)10-k,Eξ=nP=0.1.2.B作出概率分布可得.3.A本题考查随机变量的期望及有关的运算，由η=12ξ+7Eη=12Eξ+734=12Eξ+7Eξ=4949=1×41+2×m+3×n+4×21,又41+m+n+21=1,m=31,故选A.4.CP(ξ=1)=101,P(ξ=2)=104,P(ξ=3)=102,P(ξ=4)=103.∴Eξ=101+2×104+3×102+4×103=2.7.5.D由于p＋q=1,所以q=1-p,从而Eξ=0×p+1×q=q=1-p,Dξ=［0-(1-p)］2p+［1-(1-p)］2q=(1-p)2p+p2(1-p)=p-p26.A设随机变量ξ的分布列是：ξx1x2…xn-1xnPP1P2…Pn-1Pn则η=3ξ+2的分布列为：η3x1+23x2+2…3xn-1+23xn+2PP1P2…Pn-1Pn从而Eη=E(3ξ+2)=(3x1+2)P1+(3x2+2)P2+…+(3xn-1+2)Pn-1+(3xn+2)Pn=3(x1P1+x2P2+…+xn-1Pn-1+xnPn)+2(P1+P2+…+Pn-1+Pn)=3Eξ+2;Dη=［(3x1+2)-(3Eξ+2)］2P1+［(3x2+2)-(3Eξ+2)］2P2+…+［(3xn-1+2)-(3Eξ+2)］2Pn-1+［(3xn+2)-(3Eξ+2)］2Pn=9(x1-Eξ)2P1+9(x2-Eξ)2P2+…+9(xn-1-Eξ)2Pn-1+9(xn-Eξ)2Pn=9［(x1-Eξ)2P1+(x2-Eξ)2P2+…+(xn-1-Eξ)2Pn-1+(xn-Eξ)2Pn］=9Dξ.点评对于随机变量ξ和η，如果η=aξ+b(a、b为常数)，则有Eη=aEξ+b,Dη=a2Dξ.7.A∵ξ~B(n,P),∴Eξ=nP,Dξ=nP(1-P),从而有.28.1)1(,6.1PnPnP解之，得n=8,P=0.2.8.B随机变量ξ的分布列是：ξ123456P616161616161从而Eξ=1×61+2×61+3×61+4×61+5×61+6×61=3.5,Dξ=(1-3.5)2×61+(2-3.5)2×61+(3-3.5)2×61+(4-3.5)2×61+(5-3.5)2×61+(6-3.5)2×61=1235.9.BE［3(ξ2-2)］=E(3ξ2-6)=3Eξ2-6=3［Dξ+(Eξ)2］-6=6.10.C从表中可见，当x0时，P（ξ≤x）=0;当0≤x1时，P(ξ≤x)=P(ξ=0)=31;当1≤x2时，P（ξ≤x）=P(ξ=0)+P(ξ=1)=21;当x≥2时，P（ξ≤x）=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=1.点评对于密度函数，要理解其意义，搞清它与概率分布的联系与区别.二、填空题11.31本题需运用离散型随机变量的期望等知识.Eξ=67=0×a+1×31+2×61+3bb=61.又P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1a+31+61+61=1a=31.12.乙甲获胜的期望与方差分别是:(Eξ)甲=0.4×1+0.1×2+0.5×3=2.1,(Dξ)甲=(2.1-1)2×0.4+(2.1-2)2×0.1+(2.1-3)2×0.5=0.89.乙获胜的期望与方差分别是:(Eξ)乙=0.1×1+0.6×2+0.3×3=2.2,(Dξ)乙=(2.2-1)2×0.1+(2.2-2)2×0.6+(2.2-3)2×0.3=0.456.∵乙的期望高于甲，且乙的水平比甲稳定，故得胜希望大的是乙.13.27Eξ=1×61+2×61+3×61+4×61+5×61+6×61=27.14.512因为是有放回地摸球，所以每次摸球（试验）摸得红球（成功）的概率均为53,连续摸4次（做4次试验），ξ为取得红球（成功）的次数，则ξ~B53,4,从而有Eξ=nP=4×53=512.三、解答题15.解(1)p=(1-31)2·31=274.(2)6场胜3场的情况有C36种.∴p=C363313311=20×271×278=729160.(3)由于ξ服从二项分布，即ξ～B(6,31),∴Eξ=6×31=2,Dξ=6×31×(1-31)=34.答：(1)这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为274;(2)这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为729160;(3)在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2,方差为34.点评在二项分布ξ～B(n,p)中,期望Eξ=np,方差=npq.这两个公式只要求考生了解、会用，不要求给予证明.16.解（1）由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1.∴100a2+7a=0.3,∴1000a2+70a-3=0,a=1003,或a=-101(舍去)，即a=0.03,∴100a2+3a=0.18,4a=0.12,∴ξ的分布列为ξ200220240260280300P0.120.180.200.200.180.12∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km)Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964;(2)由已知η=3ξ-3(ξ3,ξ∈Z),∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)Dη=D(3ξ-3)=32Dξ=8676.17.解(1)记路段MN发生堵车事件为MN,因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为1-P(AC·CD·DB)=1-P(AC)·P(CD)·(DB)=1-［1-P(AC)］［1-P(CD)］［1-P(DB)］=1-109·1514·65=103;同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1-P(AC·CF·FB)=800239(大于103);路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1-P(AE·EF·FB)=30091(小于103);显然要使得由A到B路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B,可使得途中发生堵车事件的概率最小.(2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=P(AC·CF·FB)=800561.P(ξ=1)=P(AC·CF