二项式定理复习

二项式定理（第一次作业）姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________作业导航掌握二项式定理及二项展开式的性质．二项展开式具有以下特性：(1)它有n＋1项；(2)各项的次数都等于二项式的次数n；(3)(a＋b)n展开式中，字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0到n；(4)各项的系数依次为0nC、1nC、…、nnC．(5)公式中的a、b可以是代数式．掌握二项展开式的通项公式Tr＋1＝rbarrnrn,C＝0，1，2，3，…，n．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．(x1-x)n的展开式中第r项的二项式系数是()A．rnCB．1rnCC．1rnCD．以上都不是2．(2axxa)6的展开式中的第三项是()A．320aB．-326axC．x15D．以上都不是3．(2xx1)6的展开式中的第三项系数是()A．36CB．26CC．240D．1604．把(x-1)9按x的降幂排列，系数最大的项是()A．第四项和第五项B．第五项C．第五项和第六项D．第六项5．n∈N*，二项式(a＋b)2n的展开式中各项系数的最大值一定是()A．奇数B．偶数C．不一定是整数D．是整数，但奇偶与n的取值有关二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．(m＋n)7展开式中，共有________项，字母m的指数由________逐项减至________，字母n的指数由________逐项增至________，字母m和n的指数和为________．2．展开(a＋b)4为____________，它的通项公式是____________．3．(1-2x)10的展开式中的第五项是________．4．(1-3x)6的展开式中含x5项的系数是________．5．(3321xx)12的展开式中第r＋1项是____________________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．求(3xx32)10的展开式中的第4项的二项式系数，第4项的系数，第4项．2．求(x2＋x21)10的展开式中的常数项．3．求(3xx)9展开式中的有理项．4．若(x＋x1-2)n的展开式的常数项为-20，求n．5．证明：2≤(1＋n1)n＜3．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C2．C3．C4．A5．B二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．8700772．04Ca4＋14Ca3b＋24Ca2b2＋34Cab3＋44Cb4Tr＋1＝r4Ca4-rbr(r＝0，1，2，3，4)3．8105x44．-14585．Tr＋1＝(-21)rr12Crx324(r＝0，1，2，…，12)三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：(3x-x32)10的展开式的通项是：Tr＋1＝r10C(3x)10-r(-x32)r(r＝0，1，2，…，10)．(1)展开式的第4项的二项式系数为：310C＝120．(2)展开式的第4项的系数为：310C37(-32)3＝-77760(3)展开式的第4项为：-77760(x)731x＝-77760x2．解：设第r＋1项为常数项，则Tr＋1＝r10C(x2)10-r(x21)r，＝r10Crrx)21(2520r＝0，1，2，…，10令20-25r＝0，得r＝8∴T9＝810C(21)8＝25645．3．解：设第r＋1项为有理项，则Tr＋1＝r9C(x)9-r(-3x)r＝(-1)rr9C627rx令627r∈Z，即4＋63r∈Z，且r＝0，1，2，…，9∴r＝3或r＝9．当r＝3时，627r＝4，T4＝(-1)339Cx4＝-84x4当r＝9时，627r＝3，T10＝(-1)999Cx3＝-x3∴(x-3x)9展开式中的有理项是：第四项-84x4，第十项-x34．解：由题意可知，x≠0(1)当x＞0时，(x＋x1-2)n＝(x-x1)2n其通项公式为：Tr＋1＝rn2C(x)2n-r(-x1)r＝(-1)rrn2C(x)2n-2r令2n-2r＝0，得n＝r，∴展开式的常数项为(-1)nnn2C(2)当x＜0时，(x＋x1-2)n＝(xx1)2n同理可知，展开式的常数项为：(-1)nnn2C∴无论哪一种情况都有常数项为：(-1)nnn2C令(-1)nnn2C＝-20，以n＝1，3，5，…逐个代入，得n＝35．证明：当n＝1时，(1＋1)1＝2，不等式成立．当n＞1时，(1＋n1)n＝1＋1nCn1＋2nC21n＋…＞1＋1＋2nC21n＞2．∴2≤(1＋n1)n又∵knCkn1＝!)1()1(kknnn·kn1≤!knk·!11knk∴(1＋n1)n＝1＋1nCn1＋2nC21n＋…＋nnCnn1≤2＋!21＋!31＋…＋!1n＜2＋22121＋…＋121n＝2＋1-121n＜3．∴2≤(1＋n1)n＜3．二项式定理（第二次作业）姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________作业导航能区别系数与二项式系数，掌握二项式系数性质．rnC(r＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数，这是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a、b无关．二项式系数有三条性质：(1)对称性；(2)增减性；(3)二项式系数之和．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．二项式(a＋b)9的展开式中(a＞0，b＞0)系数最大的项是()A．第六项B．第五项C．第五项和第六项D．以上都不对2．(1-x)11的展开式中含x的奇次方的项的系数和是()A．1024B．-1024C．-1025D．10233．(1＋a)n的展开式中的第5项、第6项、第7项的系数成等差数列，则n的值为()A．7B．14C．7和14D．以上都不对4．(1-2x)5的展开式中的第二项小于第一项而不小于第三项，则x的取值范围是()A．x＞-101B．x≥-41C．-41≤x≤0D．-101＜x≤05．将(|x|＋||1x-2)3展开，其中值为常数的各项之和等于()A．-8B．-12C．-20D．20二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．(2x＋21x)8的展开式中的中间项是________．2．(x-x31)5展开式中的第三项的二项式系数为________，第三项的系数为________．3．(2x3-21x)5展开式中的常数项是________．4．若(1＋x)n的展开式中，x3的系数等于x的系数的7倍，则n＝________．5．设n是正整数，则11033nnnnCC＋…＋(-1)kknkn3C＋…＋(-1)nnnC＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)化简：08C(tan8＋cot8)＋18C(tan6＋cot6)＋28C(tan4＋cot4)＋38C(tan2＋cot2)．2．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于(516x2＋x1)5展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．3．求(nxnxxx32321)(1＋x)n展开后经合并得到的常数项．4．(x＋2)2n＋1的展开式中，含x的整数次幂的各项系数之和是多少？5．是否存在常数a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝121n(n＋1)(an2＋bn＋c)对一切正整数都成立，并证明你的结论．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C2．B3．C4．D5．C二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．41120x2．109103．-404．85．2n三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：08C(tan8＋cot8)＋18C(tan6＋cot6)＋28C(tan4＋cot4)＋38C(tan2＋cot2)＝08Ctan8＋18Ctan7cot＋28Ctan6cot2＋38Ctan5cot3＋48Ctan4cot4＋58Ctan3cot5＋68Ctan2cot6＋78Ctancot7＋88Ccot8-48C＝(tan＋cot)8-48C＝88cossin1-48C＝2sin288-702．解：(516x2＋x1)5展开式的通项为：Tr＋1＝r5C(516x2)5-r(x1)r＝r5C(516)5-r2520rx由20-5r＝0，得r＝4∴常数项为T5＝45C516＝16又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n．∴2n＝16∴n＝4．由二项式系数的性质知，(a2＋1)n的展开式中系数最大的项是中间项，∴24C(a2)2＝54，解得a＝±33．解：∵(nxnxxx32321)(1＋x)n＝(nkxnxkxx221)(0nC＋1nCx＋…＋knCxk＋…＋nnCxn)要得到常数项，只要将第一个多项式中的kxk项，与第二个多项式中的knCxk项相乘，再把各乘积项相加．∴常数项为x11nCx＋22x2nCx2＋…＋kxkknCxk＋…＋nxnnnCxn＝1nC＋22nC＋…＋kknC＋…＋nnnC＝21(2·1nC＋2·2·2nC＋…＋2·k·knC＋…＋2·n·nnC)＝21(2·0·0nC＋2·1nC＋2·2·2nC＋…＋2·k·knC＋…＋2·n·nnC)＝21［(0＋n)0nC＋(1＋n-1)1nC＋(2＋n-2)2nC＋…＋(k＋n-k)knC＋…＋(n＋0)nnC］＝21(n0nC＋n1nC＋n2nC＋…＋nknC＋…＋nnnC)＝2n(0nC＋1nC＋2nC＋…＋knC＋…＋nnC)＝2n2n＝n2n-14．解：展开式的通项公式是：Tr＋1＝Cr2n＋1212rnx2rx的幂指数要为整数，r需为奇数，所以，含x的整数次幂的各项系数之和是12Cn＋1·2＋31n2C·23＋512nC·25＋…＋121nn2C·22n＋1∵(1＋2)2n＋1＝01n2C＋11n2C·2＋21n2C·22＋31n2C·23＋…＋121nn2C·22n＋1①(1-2)2n＋1＝01n2C-11n2C·2＋21n2C·22-31n2C·23＋…-121nn2C·22n＋1②①-②得，(1＋2)2n＋1-(1-2)2n＋1＝2(11n2C·2＋31n2C·23＋51n2C·25＋…＋121nn2C·22n＋1)∴11n2C·2＋31n2C·23＋51n2C·25＋…＋121nn2C·22n＋1＝21(32n＋1＋1)∴含x的整数次幂的各项系数之和是21(32n＋1＋1)．5．解：∵n(n＋1)2＝n(n＋1)［(n＋2)-1］＝n(n＋1)(n＋2)-n(n＋1)＝622CC132nn∴根据组合数的性质，原式左边＝1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(633C-222C)＋(634C-223C)＋…＋(623221CCnn)＝6(33C＋34C＋…＋32nC)-2(22C＋23C＋…＋21nC)＝632432nnCC＝121n(n＋1)(3n2＋11n＋10)原式右边＝121n(n＋1)(an2＋bn＋c)比较左、右两式知，存在常数a＝3，b＝11，c＝10，满足题设要求．二项式定理（第三次作业）姓名：__________用时：45分钟__________满分：60分__________得分：__________作业导航利用二项式定理及特殊值，求展开式系数的和，利用二项展开式求解多项式展开问题．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．设(1＋x)6(1-2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，则a0＋a1＋a2＋…