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65．计算及其应用（1）一、典型例题1．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧面和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱锥B－B1DE的体积。[3483a]2．在边长为5＋2的正方形ABCD内，以A为圆心画一个扇形，再画一个⊙O，它在与BC、CD相切，切点为M、N，又与扇形的圆弧EF相切于K点，把扇形围成圆锥的侧面，⊙O为圆锥的底面，求这个圆锥的体积。[3302]3．如图，已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1互相垂直，①求证：AB1⊥平面A1CD；②若CC1与平面ABB1A1的距离为1，A1C＝37，AB1＝5，求三棱锥的体积。[5/3]4．直平行六面体，底面两邻边之和为a，底面的锐角为30°，侧面积为S，①求体积的最大值；②当体积最大时，底面是什么形状？[aS/16、菱形]5．已知三棱锥A－BCD的体积是V，棱长BC＝a，面ABC与面DBC的面积分别是S1和S2，设面ABC和面DBC所成的二面角是，求sin。[2123SSaV]6．三棱锥S－ABC中，各棱长都是2a，棱SA、SB、SC和AB的中点分别为D、E、F和G，①求证：平面DEF⊥平面EFG；②求VG－DEF。[3122a]7．已知三棱锥P－ABC中，PA＝a,PB=b,PC=c,侧棱PA、PB、PC上各点A1，B1，C1且PA1＝a1,PB1=b1,PC1=c1,求证：111111cbaabcVVCBAPABCP。