北京市西城区2003年抽样测试高三数学试卷(文科)

北京市西城区2003年抽样测试高三数学试卷（文科）2003．5学校___________班级___________姓名___________参考公式：三角函数的和差公积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos圆台的体积公式)(3122rrrrhV圆台其中r′、r分别表示上、下底面半径，h表示圆台的高。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑。答案：（1）ABCD（2）ABCD（3）ABCD（4）ABCD（5）ABCD（6）ABCD（7）ABCD（8）ABCD（9）ABCD（10）ABCD（1）函数)9(2log)(3xxxf，则f(x)的值域是（）（A）（2，+∞）（B）（3，+∞）（C）（4，+∞）（D）),4[（2）双曲线1222xy的两个焦点坐标分别是（）（A）)0,3(，)0,3(（B）)3,0(，)3,0(（C）（-1，0），（1，0）（D）（0，-1），（0，1）（3）函数xy2cos2最小正周期是（）（A）1（B）2（C）π（D）2π（4）如果复数ibi212（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）（A）2（B）32（C）32（D）2（5）α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（）（A）m，n是α内两条直线，且m∥β，n∥β（B）α，β都垂直于平面γ（C）α内不共线三点到β的距离都相等（D）m，n是两条异面直线，m在α内，n在β内，且m∥β，n∥α（6）如果0a1，那么下列不等式中正确的是（）（A）0)1(log)1(aa（B）2131)1()1(aa（C）23)1()1(aa（D）1)1(1aa（7）在等比数列}{na中，)0(65aaaa，baa1615，则2625aa（）（A）ab（B）22ab（C）ab2（D）2ab（8）某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。如果A、B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则有不同的游览线路（）（A）120种（B）240种（C）480种（D）600种（9）设偶函数||log)(bxxfa在（0，+∞）上单调递减，则f（b-2）与f（a+1）的大小关系是（）（A）f（b-2）=f（a+1）（B）f（b-2）f（a+1）（C）f（b-2）f（a+1）（D）不能确定（10）设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的Dx1，存在唯一的Dx2，使Cxfxf2)()(21（C为常数）成立，则称函数y=f(x)在D上的均值为C。给出下列四个函数：①3xy；②y=4sinx；③y=lgx；④xy2则满足在其定义域上均值为2的所有函数是（）（A）①②（B）③④（C）①③④（D）①③二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（11）122lim1nnn_____________。（12）若过两点)1,0(),0,3(QP的直线与圆1)2()(22yax相切，则a=_____________。（13）一个圆台的高是上下底面半径的等比中项，这个圆台高为1，母线长为3，则这个圆台的体积为_____________。（14）如图是某企业几年来关于生产销售的一张统计图表，关于该企业近几年的销售情况，有以下几种说法：①这几年该企业的利润逐年提高；（注：利润=销售额-总成本）；②1999年至2000年是该企业销售额增长最快的一年；③2000年至2001年是该企业销售额增长最慢的一年；④2001年至2002年该企业销额增长最慢，但由于总成本有所下降，因而2002年该企业的利润比上一年仍有所增长。其中说法正确的是_____________（注：把你认为是正确说法的序号都填上）。三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分12分）已知54cos，),2(，21)(tg，求tg（α-2β）的值。（16）（本小题满分12分）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求二面角A-BC-P的大小。（17）（本小题满分14分）已知函数kxfx3)(（k为常数），A（-2k，2）是函数)(1xfy图象上的点。（I）求实数k的值及函数)(1xfy的解析式；（Ⅱ）将)(1xfy的图象沿x轴向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象。求函数)()(2)(1xgxfxF最小值。（18）（本小题满分14分）某家用电器的生产厂家根据其产品在市场上的销售情况，决定对原来以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优惠销售，结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润。已知该产品每件的成本是原销售单价的60%。（I）求调整后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？（Ⅱ）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？（每件产品利润=每件产品的实际售价-每件产品的成本价）（19）（本小题满分16分）已知椭圆1C：)0(12222babyax的一条准线方程是425x，其左、右顶点分别是A、B；双曲线1:22222byaxC的一条渐近线方程为3x-5y=0。（I）求椭圆1C的方程及双曲线2C的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线2C上一点P，连结AP交椭圆1C于点M，连结PB并延长交椭圆1C于点N，若点M恰为线段AP的中点，求证：MN⊥AB。（20）（本小题满分16分）已知数列}{na是由正数组成的等差数列，nS是其前n项的和，并且53a，2824Sa。（I）求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）证明：不等式332121)11()11)(11(21naaan对一切n∈N均成立；（Ⅲ）若数列}{nb的通项公式满足)(23Nnabnn，nT是其前n项的和，试问整数312是否是数列}{nnTb中的项？若是，则求出相应的项数；若不是，请说明理由。高三数学（文科）参考答案及评分标准2003．5一、选择题CBACDBCDCD二、填空题（11）21；（12）23；（13）35；（14）②④。三、解答题（其他解法仿此给分）：（15）解：∵54cos，),2(。∴53sin。………………2分∴43tg。………………………………4分。∵21)(tg，∴21tg………………………………6分∴2122tgtgtg34，……………………9分∴212)2(tgtgtgtgtg247。…………………………12分（16）（I）证明：取AD中点G，连结PG。∵△PAD为等边三角形，∴PG⊥AD。又由已知平面PAD⊥平面ABCD。∴PG⊥平面ABCD。…………………………4分连结BG，BG是PB在平面ABCD上的射影。由于四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△ABD，△BCD均为等边三角形。∴BG⊥AD，∴AD⊥PB。………………………………6分（Ⅱ）解：∵AD∥BC，∴BG⊥BC，PB⊥BC。∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角。………………………………9分又PG，BG分别是两个边长相等的等边三角形的高。∴PG=BG。∴∠PBG=45°。即二面角A-BC-P的平面角为45°。……………………12分（17）（I）解：∵A（-2k，2）是函数)(1xfy图象上的点，∴B（2，-2k）是函数y=f(x)图象上的点，∴kk232，……………………3分∴k=-3。∴33)(xxfy。……………………5分∴)3(log)(31xxfy，(x-3)。……………………7分（Ⅱ）解：∵)3(log)(31xxfy，∴xxg3log)(，（x0）。……9分∴)0(96log)()(2)(231xxxxxgxfxF……………………11分2log2112log)69(log333xx。………………13分∴当x=3时，F（x）的最小值为2log213。……14分（18）（I）解：设每件产品的新单价是x元。由已知，该产品的成本是2000×60%=1200（元）。…………………………1分由题意：x·80%-1200=20%·80%·x…………………………………………4分解得x=1875（元）。………………………………………………6分∴80%·x=1500（元）。…………………………………………8分所以，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后的实际销售价是每件1500元。………………………………9分（Ⅱ）解：设全年至少应销售这种电子产品m件。则由题意，m（1500-1200）≥200000，…………………………12分解得32666m。∵m∈N∴m最小值应为667（件）。所以全年至少售出667件，才能使利润总额不低于20万元。……………………14分（19）（I）解：∵椭圆1C的准线方程为425，∴4252ca。…………2分∵双曲线2C的渐近线为xy53，∴53ab。………………4分∴a=5，b=3，c=4。∴椭圆1C的方程为192522yx。……………………………………5分∵双曲线的半焦距为3422ba，∴双曲线2C的离心率534e。………………6分（Ⅱ）解：设),(00yxP，)0,5(00yx∵M是PA中点。∴)2,25(00yxM。…………8分∵M在椭圆1C上，P在双曲线2C上，∴4925)5(2020yx……………………①19252020yx……………………②①+②得100x或50x（舍）…………10分∴)33,10(P，∴)323,25(M。∴)5(533:xylPN，……………………12分代入椭圆1C的方程得：0251522xx，解得25Nx或5Nx（舍）。……………………14分又∵25Mx，所以MN⊥AB。……………………16分（20）（I）解：设数列}{na的公差为d，由已知得28)3)(2(,52111dadada……2分∴(5+d)(10-3d)=28，∴022532dd，解之得d=2或311d。∵数列}{na各项均正，∴d=2，∴11a。∴12nan。……………………4分（Ⅱ）证明：∵n∈N，∴只需证明12332)11()11)(11(21naaan成立。…………………6分（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立。……………………7分（ii）假设当n=k时不等式成立，即12332)11()11)(11(21kaaak。那么当n=k+1时，)11)(11()11)(11(121kkaaaa1222332)11(123321kkakk………………8分以下只需证明323321222332kkk。即只需证明321222kkk。…………9分∵01)3212()22(22kkk。∴32332)11()11)(11(121kaaak1)1(2332k。综合（i）（ii）知，不等式对于n∈N都成立。……………………10分（Ⅲ）解：由已知242nbn。)23()24222(2nnnnTn。∴)23()242(nnnTbnn……………………11分解不等式0nnTb得