北京市西城区2002届高三文科数学一模试题

北京市西城区2002年抽样测试高三数学试卷（文科）（2002.5）参考公式：三角函数的和差化积公式球体的体积公式2cos2sin2sinsina334RV球2sin2cos2sinsina其中R表示球的半径2cos2cos2coscosa2sin2sin2coscosa一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。请选出正确答案。1．已知集合}0|2xxxM，}1|{xxN，则M∩N=（）A.{x|x≥1}B.{x|x1}C.ΦD.{x|x0或x1}2．已知)2sin()(xxf，)2cos()(xxg，则f(x)的图象（）A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y的轴对称C.是由g(x)的图象向左平移2个单位得到的D.是由g(x)的图象向右平移2个单位得到的3．复数i623的幅角主值是（）A.32B.611C.65D.354．已知直线03:1ayxl与直线012:2yxl垂直，则a的值为（）A.2B.-2C.21D.215．函数)0(12xxy的反函数是（）A.1xyB.1xyC.1xxD.1xy6．某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组成一对双打组合由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为()A.10人B.8人C.6人D.12人7．一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与一个球的体积之比为3:2。则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为()A.1:1B.2:1C.3:2D.3:28．已知函数y=f(x)的图象如图甲所示，y=g(x)的图象如图乙所示。则函数)()(xgxfy的图象可能是()9．等差数列}{na是递减数列，且48432aaa，12432aaa，则数列}{na的通项公式是（）A.22nanB.42nanC.122nanD.102nan10．(如图)正方体1111DCBAABCD中，点P在侧面11BBCC及其边界上运动，并且总是保持1BDAP，则动点P的轨迹是()Ａ.线段CB1Ｂ.线段1BCＣ.1BB中点与1CC中点连成的线段D.BC中点与11CB中点连成的线段11．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()Ａ.2323cmB.232cmC.223cmD.24cm12．对于抛物线xy22上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A.[0,1]B.(0,1)C.(-∞，1]D.(-∞，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。共16分，把答案填在题中横线上。13．在6)1(xx的展开式中，常数项的值是__________________.(用数字作答)14．不等式1)1lg(2x的解集是____________。15．已知抛物线12bxxy，当b(b∈R)变化时，抛物线顶点的轨迹方程为______.16．G是正三角形ABC的中心，过G平行于BC的直线交AB于E，交AC于F，沿直线EF将三角形折成直二面角A-EF-C。则直线AC与平面EFCB所成的角为__________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知函数axxxxfcos)6sin()6sin()(（a∈R,a是常数）,（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若f(x)的最大值为1，求a的值。18．（本小题满分12分）数列}{na的前n项和)(23NnbSnn，其中b是常数。(Ⅰ)若}{na是等比数列，求b的值；（Ⅱ）当}{na是等比数列时，求1limnnnSS的值。19．（本小题满分12分）长方体1111DCBAABCD中，AB=BC=1，,21AAE是侧棱1BB中点。(Ⅰ)求证：直线AE⊥平面EDA11；(Ⅱ)求三棱锥EDAA11的体积；(Ⅲ)求二面角11AADE的平面角的正切值.20．(本小题满分12分)有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为150%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a.(Ⅰ)写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第n年与第n-1年（n≥2,n∈N）的产量之间的关系式；(Ⅱ)由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少。21．（本小题满分13分）设抛物线过定点A（0,2）且以x轴为准线。（Ⅰ）试求抛物线顶点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x≤2)上，那么当a在什么范围内取值时，过P点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点？22．(本小题满分13分)已知函数cbxaxxfy1)(2（a,b,c∈R，a0,b0）是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且25)1(f.(Ⅰ)试求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)问函数f(x)图象上是否存在关于点（1,0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.高三数学(文科)参考答案及评分标准2002.5一、BCBDCAACDABC二、（13）-20（14）}111111|{xxx或（15）12xy(16)45°三、解答题：其他解法仿此给分17．解:(Ⅰ)axxxxfcos)6sin()6sin()(axxcossin33分ax)6sin(26分∴f（x）的最小正周期为2π。8分(Ⅱ)由（Ⅰ）可得f(x)的最大值为2+a10分∴2+a=1∴a=-112分18．解：（Ⅰ）由已知ba612分当n≥2时,1nnnSSa)2(231babnn123n5分∴{na}从第二项起成等比数列.若{na}是等比数列，则首项为3，公比为2。∴6+b=3∴b=-38分（Ⅱ）由（Ⅰ）323nnS32311nnS10分∴21)21(2)21(1lim323323limlim11nnnnnnnnnSS12分19.解：（Ⅰ）已知几何体为长方体∴11DA平面11AABB∴AEDA112分又AB=1,21BB，E为1BB的中点∴△ABE为等腰直角三角形∴2AE同理21EA∴1AEA为直角即EAAE1∴AE⊥平面EDA114分(Ⅱ)由（Ⅰ）AE为三棱锥的高，111EDA为Rt△∴312212131311111AESVEDAEDCA6分(Ⅲ)取1AA中点O，连OE，则AAEO1、11DAEO∴EO⊥平面11AADD过O在平面11AADD中作1ADOF，交1AD于F连结EF，则EFAD1∴∠EOF为二面角11AADE的平面角9分在△AFO中，111sinADDAOAOAFOAOF55511∴5EFOtg即二面角11AADE的平面角的正切值为512分(20)解：(Ⅰ)设第n年后的产量为na,则%)1501(1aa%)751%)(1501(2aa%)5.371%)(751%)(1501(3aa……即aa251,aa8352,aa643853,3分∴)231(1nnnaa),2(Nnn.5分(Ⅱ)依题意%)101)(231(1nnnaa7分由1%)101)(231(1nnnaa,得910231n,∴272n10分由于,27252724。又n∈N∴当n≥5时,1nnaa。故从第5年起产量比上一年减少。12分21．解：（Ⅰ）设抛物线顶点M（x,y），y0，则其焦点F(x,2y)2分∴12)22(22yx4分化简得1)1(422yx∴抛物线顶点M的轨迹C的方程是)0(1)1(422yyx5分（Ⅱ）设l,l′过（a,o）点互相垂直由于当l,l′分别过（0，0），（0，2）点与C相交时，易知a=±1，不适合条件，而l,l′中一条与曲线C有两个交点，另一条线过（0，0）点与C相交时，由曲线的对称性知，仍满足题意，即l,l′与C各有两个交点所以以下只考虑l,l′与椭圆全部各有两个交点的情况。6分设l:y-1=k(x-a)由4)1(41)(22yxaxky消y得0448)41(22222akxakxk7分∴]1)4([16)44)(41(4642222242akakkka∴l与椭圆有两个不同交点的充要条件是01)4(22ak……①同理，l与椭圆有两个不同交点的充要条件是01)4(122ak…………②9分解由①②组成的不等式组4412222akak此不等式组有解的条件是41422aa11分解得52a，又|a|2∴5||2a∴)5,2()2,5(a13分22.解：(Ⅰ)∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)即cbxaxcbxax1122∴bx+c=bx-c.∴c=02分∵a0，b0∴函数22211)(babxxbabxaxxf4分当且仅当，ax1时。等号成立于是222ba∴2ba6分由25)1(f得251cba即2512bb∴02522bb解得221b又b∈N∴b=1∴a=1∴xxxf1)(8分（Ⅱ）设存在一点),(00yx在y=f(x)图象上，并且关于（1，0）的对称点),2(00yx也在y=f(x)图象上，9分则00201yxx002021)2(yxx11分消0y得012020xx∴210x∴y=f(x)图象上存在两点)22,21(，)22,21(关于点（1，0）对称13分