北京市西城区2002届高三理科数学一模试题

北京市西城区2002年抽样测试高三数学试卷（理科）（2002.5）参考公式：三角函数的和差化积公式球体的体积公式2cos2sin2sinsina334RV球2sin2cos2sinsina其中R表示球的半径2cos2cos2coscosa2sin2sin2coscosa一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。请选出正确答案。1．已知集合},1|{},0|2xxNxxxM则M∩N=（）A.{x|x≥1}B.{x|x1}C.ΦD.{x|x0或x1}2．已知)2sin()(xxf，)2cos()(xxg，则f(x)的图象（）A.与g(x)的图象相同B.与g(x)的图象关于y的轴对称C.是由g(x)的图象向左平移2个单位得到的D.是由g(x)的图象向右平移2个单位得到的3．如果复数ii13的辐角主值为θ，那么复数-2+i的辐角主值是（）A.-θB.2C.D.2π-θ4．已知直线axylsin:1和直线cxyl2:2，则直线1l与2l（）A.通过平移可以重合B.不可能垂直C.可能与x轴围成等腰直角三角形D.通过绕1l上某一点旋转可以重合5．已知点P的极坐标为（1，π），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρcosθ=-1D.ρcosθ=16．某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组成一对双打组合由于在男队员中有两人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为()A.10人B.8人C.6人D.12人7．一个圆柱的轴截面是正方形，其体积与一个球的体积之比为3:2。则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为()A.1:1B.2:1C.3:2D.3:28．已知函数y=f(x)的图象如图甲所示，y=g(x)的图象如图乙所示。则函数)()(xgxfy的图象可能是()9．把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()Ａ.2323cmB.24cmC.223cmD.232cm10．(如图)正方体1111DCBAABCD中，点P在侧面11BBCC及其边界上运动，并且总是保持1BDAP，则动点P的轨迹是()Ａ.线段CB1Ｂ.线段1BCＣ.1BB中点与1CC中点连成的线段D.BC中点与11CB中点连成的线段11．对于抛物线xy22上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A.(-∞，0)B.(-∞，1]C.[0,1]D.(0,1)12．已知a0且a≠1，xaxxf2)(,当)1,1(x时，均有21)(xf，则实数a的取值范围是()A.],2[]21,0(B.]4,1()1,41[C.]2,1()1,21[D.),4[]41,0(二、填空题：本大题共4小题，每小题4分。共16分，把答案填在题中横线上。13．在6)1(xx的展开式中，常数项的值是__________________.(用数字作答)14．已知抛物线12bxxy，当b(b∈R)变化时，抛物线顶点轨迹的普通方程为______.15．G是正三角形ABC的中心，过G平行于BC的直线交AB于E，交AC于F，沿直线EF将三角形折成直二面角A-EF-C。则直线AC与平面EFCB所成的角的大小为__________.16．设函数)1lg()(2aaxxxf，给出下述命题：①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)的值域为R；③当a0时，f(x)在区间[２，＋∞)上有反函数；④若f(x)在区间[２，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4.则其中正确的命题是_______________.(要求：把正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知函数axxxxfcos)6sin()6sin()(（a∈R,a是常数）,（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）若]2,2[x时，f(x)的最大值为1，求a的值。18．（本小题满分12分）数列}{na的前n项和)(2NnbaSnn，其中a,b是常数。(Ⅰ)若}{na是等比数列，求a,b应满足的条件？（Ⅱ）当}{na是等比数列时，求1limnnnSS的值。19．（本小题满分12分）长方体1111DCBAABCD中，AB=BC=1，,21AAE是侧棱1BB中点。(Ⅰ)求证：直线AE⊥平面EDA11；(Ⅱ)求二面角11AADE的大小；(Ⅲ)求三棱锥EDCA11的体积.20．(本小题满分12分)有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为150%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a.(Ⅰ)写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第n年与第n-1年（n≥2,n∈N）的产量之间的关系式；(Ⅱ)由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少。21．(本小题满分13分)已知函数1)(2axcbxxfy（a,c∈R，a0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值21，且52)1(f.(Ⅰ)试求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P，Q两点，并且使得P，Q两点的中点为(1,0)点，若存在，求出直线1方程；若不存在，说明理由.22．(本小题满分13分)已知双曲线12222byax的离心率2e,一条准线方程为22x,直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示。(Ⅰ)求该双曲线的方程；(Ⅱ)求证：|AB|=|CD|；(Ⅲ)如果|AB|=|BC|=|CD|，求证：△OBC的面积为定值.高三数学(理科)参考答案及评分标准2002.5一、BCBDCAACDABC二、（13）-20（14）12xy（15）45°(16)②③三、解答题：其他解法仿此给分17．解:(Ⅰ)axxxxfcos)6sin()6sin()(axxcossin32分ax)6sin(24分∴f（x）的最小正周期为2π。6分(Ⅱ)∵]2,2[x∴]32,3[6x8分∴)(xf的最大值为2+a10分∴2+a=1∴a=-112分18．解：（Ⅰ）由已知baSa2112分当n≥2时,1nnnSSa)2(21babann12na4分∴当a≠0时,{na}从第二项起成等比数列.若{na}是等比数列，则首项为a，公比为2。∴2a+b=a∴a+b=06分∴若{na}为等比数列，a、b应满足的条件是a+b=0，且a、b均不为零。8分（Ⅱ）由（Ⅰ）aaSnn2aaSnn11210分∴1212lim22limlim111nnnnnnnnnaaaaSS21)21(2)21(1limnnn12分19.解：（Ⅰ）已知几何体为长方体∴11DA平面11AABB∴AEDA112分又AB=1,21BB，E为1BB的中点∴△ABE为等腰直角三角形∴2AE同理21EA∴1AEA为直角即EAAE1∴AE⊥平面EDA114分(Ⅱ)取1AA中点O，连OE，则AAEO1、11DAEO∴EO⊥平面11AADD5分过O在平面11AADD中作1ADOF，交1AD于F连结EF，则EFAD1∴∠EOF为二面角11AADE的平面角7分△AOF中，111sinADDAOAOAFOAOF55511∴5EFOtg∴5arctgEFO即二面角11AADE的大小为5arctg9分(Ⅲ)由于11//DCAB∴AB//平面EDC11∴611)1121(31111111EBCDEDCBEDCAVVV12分(20)解：(Ⅰ)设第n年后的产量为na,则%)1501(1aa%)751%)(1501(2aa%)5.371%)(751%)(1501(3aa……即aa251,aa8352,aa643853,3分∴)231(1nnnaa),2(Nnn.5分(Ⅱ)依题意%)101)(231(1nnnaa7分由1%)101)(231(1nnnaa,得910231n,∴272n10分由于,27252724。又n∈N∴当n≥5时,1nnaa。故从第5年起产量将比上一年减少。12分21.解：(Ⅰ)∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)即1122axcbxaxcbx∴-bx+c=-bx-c.∴c=01分∵a0，b是自然数，∴函数1)(2axbxxf当x≤0时，f(x)≤0；x0时，f(x)0∴f(x)最大值在x0时取得。∴x0时，22111)(babxxbaxf，4分当且仅当bxxba1即ax1时，等号成立。于是f(x)最大值为221ba，即21212ba，∴12ba∴2ba①6分又,52)1(f∴521ab∴5b2a+2②①代入②得02522bb解得221b，又b∈N，∴b=1.∴a=1。∴1)(2xxxfy8分(Ⅱ)设存在直线l与y=f(x)图象交于P、Q两点，且P、Q中点为（1，0）。设),(00yxP，则),2(00yxQ。∴020002001)2(21yxxyxx10分消0y得012020xx，解之210x。∴)42,21(P或)42,21(P，进而得到相应的)42,21(Q，或)42,21(Q12分∴存在题目要求的直线l,014:yxl.13分22．解：(Ⅰ)由已知2ac，222ca。∴a=1，2c。∴所求双曲线的方程为122yx。2分(Ⅱ)解法一设l:x=my+b,(m≠±1)由bmyxxy得)1,1(mbmbA由bmyxxy得)1,1(mbmbD∴AD中点坐标为)1,1(22mbmmb。4分由bmyxyx122得012)1(222bmbyym∴22112mmbyy∴BC中点坐标为)1,1(22mbmmb6分∴AD中点与BC中点为同一点,又A、B、C、D四点共线，∴|AB|=|CD|。7分解法二：当l倾斜角为90°时，设l：x=m,(m1)。∴A（m，m）D（m，-m）)1,(2mmB,)1,(2mmC∴|||1|||2CDmmAB3分∴当l倾斜面角不是90°时，设l：y=kx+b，(k≠±1)由bkxyxy得)1,1(kbkbA由bkxyxy得)1,1(kbkbD∴AD中点坐标为)1,1(22kbkbk4分由bkxyyx122得)01.(012)1(2222kbbkxxk∴22112kbkxx∴BC中点坐标为)1,1(22kbkbk6分∴AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，∴|AB|=|CD|。7分（Ⅲ）设A(a，a)D(b，-b)a0，b0∵|AB|=|BC|=|CD|∴)2(31212babaxc)2(31212babayc即)32,32(babaC9分∴点C在双曲线上∴1)32()32(22baba∴89ab11分又83312261||||213131abbaODOASSOADOBC13分∴△OBC的面积为定值。