北京东城区2002年高三数学三模试题

北京市东城区2002年高三总复习练习（三）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscos正棱台、圆台的侧面积公式lccS)'(21台侧其中c'、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式：hSSSSV)''(31台体其中S'、S分别表示上、下底面积，h表示高。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)若互不相等的三个实数a、b、c成等差数列，a、c、b成等比数列，则a:b:c等于（A）1：2：3（B）3：1：2（C）4：1：2（D）4：1：（-2）（2）（理）已知)23(41sinxx,则x等于（A）)41arcsin(（B）41arcsin（C）41arcsin（D）41arcsin（2）（文）89tg的值是（A）12（B）23（C）21（D）12（3）复数i31的共轭复数的平方等于（A）i322（B）i322（C）i324（D）i324（4）已知异面直线a、b分别在平面α、β内，且a∩β=c,那么直线c(A)与a、b都相交（B）与a、b都不相交（C）只与a、b中的一条相交（D）至少与a、b中的一条相交（5）（理）已知圆心的极坐标为(a,π)(a0),则过极点的圆的极坐标方程为（A）ρ=2αsinθ（B）ρ=-2αsinθ(C)ρ=2αcosθ(D)ρ=-2αcosθ(5)(文)以（5，6）和（3，-4）为直径端点的圆的方程是（A）072422yxyx（B）064822yxyx（C）052422yxyx（D）092822yxyx（6）圆台母线与底面成45°角，侧面积为23，则它的轴截面面积是（A）2（Ｂ）3（C）2（D）23（7）在同一坐标系中，方程1byax和122byax（a、b均为正实数）所表示的曲线只可能是下列四个图形中的（8）把函数y=f(x)的图象沿着直线x+y=0的方向向右下方平移22个单位，得到函数xy2log的图象，则(A)2)2(log)(2xxf(B)2)2(log)(2xxf(C)2)2(log)(2xxf(D)2)2(log)(2xxf(9)如图，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD。则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是（A）平面ABD⊥平面ABC（B）平面ADC⊥平面BDC（C）平面ABC⊥平面BDC（D）平面ADC⊥平面ABC（10）在平面直角坐标系中有6个点，它们的坐标分别为（0，0），（1，2），（-1，-2）（2，4）（-2，-1），（2，1）则这6个点可确定不同三角形的个数为（A）14（B）15（C）16（D）20（11）椭圆131222yx的焦点为1F和2F，点P在椭圆上，如果线段1PF的中点在y轴上，那么||:||21PFPF的值为(A)7:1(B)5:1(C)9:2(D)8:3(12)已知函数y=f(x)与)(1xfy互为反函数，)1(1xfy与y=g(x)的图象关于直线y=x对称.若)2(log)(221xxf，(x0),则)2(g等于(A)1(B)-1(C)3(D)-3第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（13）sin80°cos35°-sin10°cos55°的值等于________________.(14)已知抛物线)1(2xay的准线方程是x=-3，那么抛物线的焦点坐标是_________.(15)已知)1()(aaxfx，),1()(bbxgx当2)()(21xgxf时，有21xx，则a、b的大小关系是___________________。（16）一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆.已知椭圆的长轴长为5，短轴长为4，被截后几何体的最短侧面母线长为1，则该几何体的体积等于_____________。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(17)（本小题满分12分）已知：△ABC中，C=120°c=7，a+b=8。求：cos(A-B)的值。(18)(本小题满分12分)已知函数y=f(x)对任意实数1x，2x,都有)()()(2121xfxfxxf，且当x0时，f（x）0。(Ⅰ)试判断函数y=f(x)的奇偶性，并给出证明；(Ⅱ)试判断函数y=f(x)的单调性，并给出证明。（19）.（本小题满分12分）在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形。这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①。若用剩下的部分拆成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②。则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值。(20).（本小题满分12分）已知三棱锥p—ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E.（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BDF；（Ⅲ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比。(21)（本小题满分12分）已知直线l与椭圆12222byax（ab0）有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程。(22)（本小题满分14分）已知数列}{na的通项公式0na(n∈N)，它的前n项和记为nS，数列}{2nS是首项为3，公差为1的等差数列.（Ⅰ）求na与nS的解析式；（Ⅱ）试比较nS与nna3(n∈N)的大小。北京市东城区2002年高三总复习练习（三）高三数学参考答案及评分标准一、（1）D（2）D（3）B（4）D（5）D（6）B（7）D（8）A（9）D（10）B（11）A（12）D二、（13）22（14）（1，0）（15）ab(16)10π三、（17）解：由正弦定理，得314120sin7sin2CcR----------------------------------------2分又由正弦定理及已知，得方程,8sin2sin2BRARba2R(sinA+sinB)=8---------------------------------------------------5分,82cos2sin2314BABA.82cos212314BA解得7342cosBA-------------------------------------------------9分∴12cos2)cos(2BABA，.4947--------------------------------------------------12分（18）解：(Ⅰ)在关系式)()()(2121xfxfxxf中，令02x，得)0()()0(11fxfxf.解得0)0(f.同样，在已知关系式中，令xx1,xx2,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=f(0)=0.∴函数f(x)是R上的奇函数.-------------------------------------------------6分(Ⅱ)任取21xx.则)()()()(2121xfxfxfxf)(21xxf.由,021xx，并由已知，得.0)(21xxf即.0)()(21xfxf则由函数单调性的定义，得y=f(x)是R上的减函数.------------------------------------------------------12分(19)解：设容器的高为x.则容器底面正三角形的边长为xa32--------------------------------2分∴)320()32(43)(2axxxaxV---------------------4分)32)(32(43xaxax)32)(32(3434143xaxax33)323234(161xaxax543a-----------------------------------------------------------10分当且仅当xax3234，即ax183时543maxaV----------------------------------------------12分答：当容器的高为a183时，容器的容积最大，最大容积为543a.(20)（Ⅰ）证：∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD.由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC.又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC.--------------------------------------2分又PA平面PAC，∴BD⊥PA.由已知，DE⊥PA，DE∩BD=D,∴AP⊥平面BDE.-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）证:由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE.由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP.又由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF---------------------------------------6分BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF.又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF.----------------------8分（Ⅲ）解:设点E和点A到平面PBC的距离分别为1h和2h.则3:2::21APEPhh--------------------------------------9分∴31232313121PBCPBFPBCAPBFEABCPEBFpShShVVVV----------------------11分所以截面BEF分三棱锥P-ABC所成的两部分体积的比为1：2（或2：1）-----------12分（21）解：由已知，直线l不过椭圆的四个顶点.所以设直线l的方程为y=kx+m(k≠0).----------------------------------------------1分代入椭圆方程，得22222222)2(bamkmxxkaxb.化简后，得02)(222222222bamamxkaxbka.-------------3分),)((4)2(22222222bamabkamka).(4222222mbkaba由已知，得△=0.即2222mbka.①--------------------------------6分在直线方程y=kx+m中，分别令y=0，x=0，求得),0,(kmRS(0，m).令顶点P的坐标为（x，y）,由已知，得.,mykmx解得.,ymxyk--------------------------------10分代入①式并