2008学年度高三年级第一次月考数学试题

常州市第一中学2007—2008学年度高三年级第一次月考数学试卷一、选择题：1、已知22{|1},{|1}MxyxNyyx，那么MN=（C）A、B、MC、ND、R2、已知：:|23|1,:(3)0pxqxx，则p是q的（A）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、关于直线m、n与平面、，有下列四个命题：①//,//mn且//，则//mn；②,mn且，则mn；③,//mn且//，则mn；④//,mn且，则//mn.其中真命题的序号是：（D）A、①②B、③④C、①④D、②③4、设是第二象限角,且cos,sincos22t,则sin2的值是（C）A、12tB、12tC、12tD、12t5、若222sinsin2sin0，则22coscos的取值范围是（B）A、[1,5]B、[1,2]C、9[1,]4D、[1,2]6、若函数f(x)满足1(1)()fxfx，且(1,1]时,(),xfxx则函数y=f(x)的图象与函数3logyx的图象的交点的个数为（B）A、3B、4C、6D、87、若四面体的六条棱中有五条长为a，则该四面体体积的最大值为（A）A、318aB、338aC、3112aD、3312a8、已知偶函数y=f(x)在[－1，0]上为单调递减函数，又、为锐角三角形的两内角，则（A）A.(sin)(cos)ffB.(sin)(cos)ffC.(sin)(sin)ffD.(cos)(cos)ff9、菱形ABCD的边长为0,60,,,aAEFG，H分别在AB、BC、CD、DA上，且3aBEBFDGDH，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为A、2aB、22aC、32aD、31a（A）10、已知定义在R上的奇函数()满足()2yfxyfx为偶函数，对于函数()yfx有下列几种描述，（1）()yfx是周期函数（2）x是它的一条对称轴（3）(,0)是它图象的一个对称中心（4）当2x时，它一定取最大值其中描述正确的是（B）A、（1）（2）B、（1）（3）C、（2）（4）D、（2）（3）二、填空题：11、若函数2(1)fx的定义域为[2,1)，则函数()fx的定义域为[1,5]；12、249yxx的值域为[1,324]；13、y=f(x)是关于x=3对称的奇函数，f（1）=1,32cossin5xx，则15sin2[]cos()4xfx=-1；14、已知方程2(1)40xaxa的两根为12,xx，且1201xx，则a的取值范围是(4,3)；15、在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB=45且△ABC的面积为32，则b=2.16、若对终边不在坐标轴上的任意角x，不等式sincosxx22tancotmxx恒成立，则实数m的取值范围是[2,2]；三、解答题：17、已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ,42x．（1）求()fx的最大值和最小值；（2）若不等式()2fxm在ππ,42x上恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）π()1cos23cos21sin23cos22fxxxxx∵π12sin23x．又ππ,42x∵，ππ2π2633x∴≤≤，即π212sin233x≤≤，maxmin()3,()2fxfx∴．（2）()2()2()2fxmfxmfx∵，ππ,42x，max()2mfx∴且min()2mfx，14m∴，即m的取值范围是(1,4)．18、已知函数231()2sin1[,]22fxxxx。（1）当6时，求()fx的最大值和最小值。（2）若()fx在31[,]22x上是单调函数，且[0,2)，求的取值范围。解：（1）6时，2215()1()24fxxxx。由31[,]22x，当12x时，()fx有最小值为54，当12x时，()fx有最大值为14。（2）2()2sin1fxxx的图象的对称轴为sinx，由于()fx在31[,]22x上是单调函数，所以3sin2或1sin2，即3sin2或1sin2，所求的取值范围是2711[,][,]336619、已知命题:p1x和2x是方程220xmx的两个实根，不等式21253||aaxx对任意实数[1,1]m恒成立；命题:q只有一个实数x满足不等式222110xaxa，若命题p是假命题，命题q是真命题，求a的取值范围。解：（1）:p1x和2x是220xmx的两根，所以122212121212||()482xxmxxxxxxmxx又[1,1]m，则有12||[22,3]xx。因为不等式21253||aaxx对任意实数[1,1]m恒成立，所以212max53||3aaxx，所以2533(,1][6,)aaa:q由题意有211(22)41100或2aaaa由命题“p或q”是假命题，命题“p且q”是假命题，有p假q假，所以11{}2a。20、设()fx的定义域为(0,)，且满足(4)1f，12,(0,)xx，有1212()()()fxxfxfx，当(0,1)x时，()0fx。（1）求(1)f的值；（2）证明()fx在(0,)上是增函数；（3）解不等式(31)(26)3fxfx。解：（1）令121xx，则(1)0f（2）12,(0,)xx且12xx时，1122()()()xfxfxfx，因为1122001xxxx，又当(0,1)x时，()0fx，所以1122()()()0xfxfxfx，所以()fx在(0,)上单调增。（3）令124xx，则(16)(4)(4)2fff；令124,16xx，则(64)(4)(16)3fff所以(31)(26)3(64)fxfxf，所以310260(3,5](31)(26)64xxxxx21、在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=22a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）求证：PA⊥平面ABCDE；（2）若G为PE中点，求证：AG平面PDE（3）求二面角A-PD-E的正弦值；（4）求点C到平面PDE的距离解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=22a,∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．3分（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。PAAE，G为PE中点，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE6分（3）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．8分在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝253a，∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝AGAH＝31010．∴二面角A-PD-E的正弦值为31010．10分（4）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,BC=DE=a,AB=AE=2a,取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．13分在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，∴FG=22a．∴点C到平面PDE的距离为22a．（或用等体积法求）22、设函数()log(3)(0且1)afxxaaa，当点(,)Pxy是函数()yfx的图象上的点时，点(2,)Qxay是函数()ygx的图象上的点。（1）求出函数()ygx的解析式；（2）若当[2,3]xaa时，恒有|()()|1fxgx，试确定a的取值范围。解：（1）设''(,)Qxy，则''''22xxaxxayyyy，又log(3)ayxa，则''log(23)ayxaa，所以()log()agxxa。（2）|()()||log(3)log()|1aafxgxxaxa，定义域为30(3,)0xaxaxa，又[2,3]xaa，则有23101aaaa，所以|()()||log(3)()|1afxgxxaxa1log(3)()1,[2,3]axaxaxaa，令2222()(3)()43(2)uxxaxaxaxaxaa22()aaux在区间[2,3]aa上单调增，1()auxa222243957011243xaxaaaxaxaa理科学生做（选择填空题每题4分）1.矩阵0110的逆矩阵是()A．0110B．1001C．1001D．01102.表示x轴的反射变换的矩阵是()A.1001B.1001C.0110D.10013.极坐标方程cos2sin2表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆4.若曲线22421xxyy在矩阵11ab的作用下变换成曲线2221xy，则ab的值为______。5.点,Pxy是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值为___________。6.已知圆C的参数方程为12cos2sinxy（为参数），P是圆C与y轴的交点，若以圆心C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P圆C的切线的极坐标方程是.7.（本题6分）过点10(,0)2P作倾斜角为的直线与曲线2221xy交于点,MN，求PMPN的最小值及相应的的值。8.（本题10分）当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；（3）第n年时，兔子数量nR用表示，狐狸数量用nF表示；（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有0100R只，狐狸数量有030F只。请用所学知识解决如下问题：（1）列出兔子与狐狸的生态模型（nR、nF的关系式）；（2）求出nR、nF关于n的关系式；（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由。参考答案：1、A；2、D；3、C；