2006年苏、锡、常、镇四大市联考适应性考试

2006年苏、锡、常、镇四大市联考适应性考试数学试卷2006.03.14一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目求的。）1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是A．21B．32C．322D．222．函数xxxycossinsin22的最小正周期为A．B．4C．2D．23．已知向量)2,(),1,2(xba且ba与ba2平行，则x等于A．－6B．6C．4D．－44．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若,,,mlAAmlm点则与不共面；②若m、l是异面直线，nmnlnml则且,,,//,//；③若mlml//,//,//,//则；④若,,,//,//,//.lmlmAlm点则其中为假命题的是A．①B．②C．③D．④5．一组数据的方差为2，将这组数据中每个扩大为原数的2倍，则所得新的一组数据的方差是A．16B．8C．4D．26．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有A．48B．24C．60D．1207．设命题甲：平面内有两定点21,FF和动点P，使||||21PFPF是定值；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是A．74B．121C．－74D．－1219．已知数列}{na的通项公式为)(21log2Nnnnan，设其前n项和为Sn，则使5nS成立的自然数nA．有最小值63B．有最大值63C．有最小值31D．有最大值3110．正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R–PQMN的体积是A．6B．10C．12D．不确定11．编辑一个运算程序：1&1=2,m&n=k,m&(n+1)=k+2，则1&2006的输出结果为A．4006B．4008C．4010D．401212．若函数mxxmy2)2(的图象如图所示，则m的取值范围为A．)1,(B．)2,1(C．)2,1(D．)2,0(二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样取一个样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=______14．已知集合RxyyAx,12，集合RxxxyyB,322，则集合BxAxx且________15．已知1F、2F为双曲线12222byax的焦点，M为双曲线上一点，MF1垂直于x轴，且3021MFF，则该双曲线的离心率为16．已知向量(2cos,2sin),(3cos,3sin)ab，其夹角为60，则直线21sincosyx=0与圆21)sin()cos(22yx的位置关系是________17．实系数方程022baxx的两根为21,xx，且21021xx，则12ab的取值范围是18．若()fn为21n的各位数字之和()nN．如：因为2141197,19717，所以(14)17f．记1()()fnfn，21()(())fnffn，…，1()(())kkfnffn，kN，则2006(8)f三、解答题（19、20每题12分，21、22、23每题14分）19．（12分）在ABC中，CBA、、所对的边长分别为cba、、，设cba、、满足条件222abccb和321bc，求A和Btan的值。ABCDD1A1C1B1QPMNR20．（12分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个10位的二进制数A12310aaaa，其中A的各位数字中，11a，(2,3,,10)kak出现0的概率为13，出现1的概率为23，例如：1001110001A，其中237890aaaaa，456101aaaa，记12310Saaaa。当启动仪器一次时，（1）求3S的概率；（2）求5S，且有3个1连排在一起其余无任2个1连排在一起的概率。21．（14分）如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是2，点A1与AB、AC的距离都等于2，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1C于F.（1）求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；（2）求点A到平面B1BCC1的距离；（3）求平面A1EF与平面A1B1C1所成二面角的大小.22．（14分）已知二次函数2()fxaxbx的图象过点(4,0)n，且*(0)2,()fnnN（1）求()fx的解析式；（2）若数列na满足111()nnfaa，且14a，求数列na的通项公式；（3）对于（2）中的数列na，求证：①15nkka；②11423nkkkaa。23．（14分）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然。如图所示，今有抛物线22(0)ypxp，一光源在点41(,4)4M处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后，又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线:24170lxy上的点N，再反射后又射回点M。（1）设P、Q两点的坐标分别是1122(,),(,)xyxy，证明：212yyp。（2）求抛物线方程。AC1A1B1CBFEPQNMxOy参考答案一、选择题（60分）题号123456789101112答案CADCBCBDAADB二、填空题（24分）13．20014．),2(15．3216．相离17．1(,1)418．5三、解答题19．（12分）解：由余弦定理212cos222bcacbA，因此60A．在ABC中，BBAC120180．由已知条件，应用正弦定理21cot23sinsin120coscos120sinsin)120sin(sinsin321BBBBBBBCbc，解得2cotB，从而21tanB．20．（1）227972116()()333PC；（2）224565921640(5)()()333PCA（注：分三类1110---；110---；10---）21．证明（1）EFABBCCBBCCFABBEA11111111,//,,平面由.∴平面A1EF⊥平面B1BCC1.…………………………………………3分（2）由于A1A//平面B1BCC1，故点A、A1与平面B1BCC1的距离相等.∵ABB1A1为菱形，故A1E=A1F=2.∵B1B⊥平面A1EF，EF平面A1EF，∴BB1⊥EF，从而EF=BC=2.∴△A1EF是等腰直角三角形。取EF中点M，则A1M⊥EF，且A1M=1.从而A1M⊥平面B1BCC1，即A1M是点A1与平面B1BCC1的距离，∵点A与平面B1BCC1的距离为1.……………………………………7分（3）设平面A1EF与平面A1B1C1所成的二面角的棱为直线l，取B1C1的中点N，则A1N⊥B1C1，但B1C1//EF，∴B1C1//平面A1EF，于是B1C1//l，在△A1B1C1中，A1N=.32311BA∴A1M⊥l，A1N⊥l，即∠MA1N为所求二面角的平面角.……………………………………10分∵A1M⊥平面B1BCC1，∴A1M⊥MN.∴cos∠NA1M=13AMMN，故所求二面角的大小为3arccosarctan23………………………………12分.22．（1）2*1()2()2fxxnxnN；（2）*24()(21)nanNn；（3）①11111(1)1(1)4kakkkkkk(2k)当1n时，显然成立；当2n时，11111114[(1)()()]552231nkkannn；②11111111()()2222kkaakkkk，111111111213351112222222nkkkaannn，所以不等式成立23．解（1）由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点(,0)2pF，设:2pPQxmy，代入抛物线方程得：2220ympyp，212yyp（6分）（2）由题意知8(,4),(,0)2pPFp，设点M关于直线l的对称点为'(,)Mmn，则有：4241441442417022nmmn5141mn，由此得1(,1)2Qp，又P，F，Q三点共线QFFPkk，即11218222ppppp．抛物线方程为24yx．（14分）