2006高考数学试题陕西卷

2006高考数学试题陕西卷理科试题（必修＋选修II）注意事项：１．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（共60分）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6≤0},则P∩Q等于()A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}2.复数(1+i)21－i等于()A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i3.n→∞lim12n(n2+1－n2－1)等于()A.1B.12C.14D.04.设函数f(x)=loga(x+b)(a0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于()A.6B.5C.4D.35.设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()A.±2B.±2B.±22D.±46.等式sin(α+γ)=sin2β成立是α、β、γ成等差数列的()A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知双曲线x2a2－y22=1(a2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.263D.2338.已知不等式(x+y)(1x+ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.89.已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形10.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0a3),若x1x2,x1+x2=1－a,则()A.f(x1)f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)f(x2)D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定11.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是()A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必与α相交C.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内12.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7第二部分（共90分）二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。13.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为14.(3x－1x)12展开式x－3的系数为(用数字作答)15.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是16.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin(2x－π6)+2sin2(x－π12)(x∈R)(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.18.(本小题满分12分)甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是13,25,12.(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.19.(本小题满分12分)如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=2,求:(Ⅰ)直线AB分别与平面α,β所成角的大小;(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.20.(本小题满分12分)已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.21.(本小题满分12分)如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1);三动点D,E,M满足AD→=tAB→,BE→=tBC→,DM→=tDE→,t∈[0,1].(Ⅰ)求动直线DE斜率的变化范围;(Ⅱ)求动点M的轨迹方程.22.（本小题满分１4分）已知函数f(x)=x3－x2+x2+14,且存在x0∈(0,12),使f(x0)=x0.（I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0,xn+1=f(xn);y1=12,yn+1=f(yn),其中n=1,2,……（II）证明：xnxn+1x0yn+1yn;（III）证明：yn+1－xn+1yn－xn12.ABA1B1αβl第19题图yxOMDABC－1－1－212BE以下答案由渭南市吝店中学郝进提供([e-mail])参考答案一、选择题1．B2．C3．B4．C5．B6．A7．D8．B9．D10．A11．D12．C二、填空题13．－1214．59415．3R16．600三、解答题17.解:(Ⅰ)f(x)=3sin(2x－π6)+1－cos2(x－π12)=2[32sin2(x－π12)－12cos2(x－π12)]+1=2sin[2(x－π12)－π6]+1=2sin(2x－π3)+1∴T=2π2=π(Ⅱ)当f(x)取最大值时,sin(2x－π3)=1,有2x－π3=2kπ+π2即x=kπ+5π12(k∈Z)∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+5π12,(k∈Z)}.18.解:(Ⅰ)记甲投篮1次投进为事件A1,乙投篮1次投进为事件A2,丙投篮1次投进为事件A3,3人都没有投进为事件A.则P(A1)=13,P(A2)=25,P(A3)=12,∴P(A)=P(A1－A2－A3－)=P(A1－)·P(A2－)·P(A3－)=[1－P(A1)]·[1－P(A2)]·[1－P(A3)]=(1－13)(1－25)(1－12)=15∴3人都没有投进的概率为15.(Ⅱ)解法一:随机变量ξ的可能值有0,1,2,3),ξ~B(3,25),P(ξ=k)=C3k(25)k(35)3－k(k=0,1,2,3),Eξ=np=3×25=65.解法二:ξ的概率分布为:ξ0123P2712554125361258125Eξ=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65.19.解法一:(Ⅰ)如图,连接A1B,AB1,∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,∴AA1⊥β,BB1⊥α.则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.Rt△BB1A中,BB1=2,AB=2,∴sin∠BAB1=BB1AB=22.∴∠BAB1=45°.Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,sin∠ABA1=AA1AB=12,∴∠ABA1=30°.故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.(Ⅱ)∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=2.∴Rt△AA1B中,A1B=AB2－AA12=4－1=3.由AA1·A1B=A1F·AB得A1F=AA1·A1BAB=1×32=32,∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE=A1EA1F=63,∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin63.解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)如图,建立坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(2,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得AF→=tAB→,即(x,y,z－1)=t(2,1,－1),∴点F的坐标为(2t,t,1－t).要使A1F→⊥AB→,须A1F→·AB→=0,即(2t,t,1－t)·(2,1,－1)=0,2t+t－(1－t)=0,解得t=14,∴点F的坐标为(24,－14,34),∴A1F→=(24,14,34).设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,12,12).∴EF→=(24,－14,14).又EF→·AB→=(24,－14,14)·(2,1,－1)=12－14－14=0,∴EF→⊥AB→,∴∠A1FE为所求二面角的平面角.ABA1B1αβl第19题解法一图EFABA1B1αβl第19题解法二图yxyEF又cos∠A1FE=A1F→·EF→|A1F→|·|EF→|=(24，14，34)·(24，－14，14)216+116+916·216+116+116=18－116+31634·12=13=33,∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos33.20.解:∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－10,∴an－an－1=5(n≥2).当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.21.解法一:如图,(Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD→=tAB→,BE→=tBC→,知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2).∴xD=－2t+2yD=－2t+1同理xE=－2tyE=2t－1.∴kDE=yE－yDxE－xD=2t－1－(－2t+1)－2t－(－2t+2)=1－2t.∴t∈[0,1],∴kDE∈[－1,1].(Ⅱ)∵DM→=tDE→∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t).∴x=2(1－2t)y=(1－2t)2,∴y=x24,即x2=4y.∵t∈[0,1],x=2(1－2t)∈[－2,2].即所求轨迹方程为:x2=4y,x∈[－2,2]解法二:(Ⅰ)同上.(Ⅱ)如图,OD→=OA→+AD→=OA→+tAB→=OA→+t(OB→－OA→)=(1－t)OA→+tOB→,OE→=OB→+BE→=OB→+tBC→=OB→+t(OC→－OB→)=(1－t)OB→+tOC→,OM→=OD→+DM→=OD→+tDE→=OD→+t(OE→－OD→)=(1－t)OD→+tOE→=(1－t2)OA→+2(1－t)tOB→+t2OC→.设M点的坐标为(x,y),由OA→=(2,1),OB→=(0,－1),OC→=(－2,1)得x=(1－t2)·2+2(1－t)t·0+t2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t·(－1)+t2·1=(1－2t)2消去t得x2=4y,∵t∈[0,1],x∈[－2,2].故所求轨迹方程为:x2=4y,x∈[－2,2]yxOMDABC－1－1－212BE第21题解法图22.解:（I）∵f'(x)=3x2－2x+12=3(x－13)2+160,∴f(x)是R上的单调增函数.（II）∵0x012,即x1x0y1.又f(x)是增函数,∴f(x1)f(x0)f(y1).即x2x0y2.又x2=f(x1)=f(0)=140=x1,y2=f(y1)=f(12)=3812=