2005—2006学年度高三年级第三次月考数学(理科)试卷

湖南师大附中2005—2006学年度高三年级第三次月考数学（理科）试卷YCY本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p:BA，则p是（）A．BxAx且B．BxAx或C．BAxD．BAx2．复数2)11(i的值是（）A．2iB．－2iC．2D．－23．已知数列}{na的前n项和)(35*2NnnnSn，则当n2时有（）A．nnnanaS1B．1nanaSnnC．1naSnannD．1naSnann4．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆)0(12222babyax上一点，若21PFPF=0，21tanFPF=2，则椭圆的离心率为（）A．21B．32C．31D．355．师大附中高三年级第三次月考时间是11月4、5日，当地4日下雨的概率是0.15，5日下雨的概率是0.12，那么师大附中高三年级第三次月考期间当地不下雨的概率是（）A．0.102B．0.132C．0.748D．0.9826．如果函数)]2()2(lg[2mxmmxy的值域为R，则常数m的取值范围是（）A．]32,2[B．]32,0[C．)320(D．),32(7．把函数||,0)((xfy）的图象向左平移6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数)(xfy的图象，则（）A．6,2B．3,2C．6,21D．12,218．已知函数)(xf是定义域为R的增函数，且值域为（0，+∞），则下列函数中为减函数的是（）A．)()(xfxfB．)()(xfxfC．)()(xfxfD．)()(xfxf9．数列：1，21，21，31，31，31，41，41，41，41，…的前100项的和等于（）A．14913B．141113C．14114D．1431410．已知)0(,0)0(||,|ln|)(xxxxf，则方程0)()(2xfxf不相等的实根共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把各题的正确答案填写在题中的11．7)2(x展开式中5x的系数为.12．在数列}{na中，其前n项和)13(nnkS，且544a，则k=.13．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上，ξ=0表示结果中没有正面向上，则Eξ=.14．已知向量a、b满足：（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b的夹角等于.15．已知二次函数)(3))(()(nmnxmxxf，方程0)(xf的两根分别为,（），其中m，n，,均为常数，则（m，n）（,）.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数)2||,0,0)(sin()(AxAxf的部分图象如下图所示：（1）求函数)(xf的解析式；（2）若)(xg的图角与)(xf的图象关于点P（4，0）对称，求)(xg的单调递增区间.17．（12分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，AC=BC=a，AA1=AB,E是AB1上的点.（1）求二面角B1—C—B的平面角的正切值；（2）问：如何确定点E的位置，使得CE⊥AB1？并求此时C、E两点的距离.18．（14分）（1）证明：若数列}{na有递推关系BAaann1，其中A、B为常数，且A1，AB≠0，011ABa，则数列}1{ABan是以A为公比的等比数列；（2）若数列}{na对于任意的*Nn，都有naSnn2，令nnxaxaxaxf221)(，求函数1)(xxf在处的导数).(xf19．（14分）直线l过抛物线C：)0(22ppxy的焦点F，且与抛物线相交于A),(11yx、B),(22yx两点.（1）求证：22141pxx；（2）试推断抛物线C是否存在一条弦MN，使得直线l是弦MN的垂直平分线？20．（14分）湖南师大附中有教职员工500余人，为了开展全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练，每天清晨定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天晨练.据调查统计，每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼的人有20%下次去户外锻炼.请问，随着时间的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？21．（14分）已知定义在R上的函数)(xf满足：对于任意实数yx,，恒有)()()(yfxfyxf，且当0x时，.1)(0xf（1）求证：,1)0(f当0x时，有1)(xf；（2）试判断)(xf在且R上的单调性，并证明你的结论；（3）若实数x、y满足：)2(])2[(])2[(22fyfxf，且1)4(yxf，求z=x+y的取值范围.湖南师大附中2005—2006学年度高三年级月考试题数学（理）参考答案一、选择题1．A2．B3．D4．D5．C6．B7．B8．D9．A10．C二、填空题：11．－84；12．1；13．43；14．120°；15．（m，n）.三、解答题：16．（1）)48sin(2)(xxf………………………………（6分）（2）02)4()4(xfxg)8()(xfxg………………………………（8分）=]4)8(8sin[2x=)458sin(2)845sin(2xx…………………………（10分）令)(14166162245822Zkkxkkxk得即)(xg单调递增区间为[16k+6，16k+14]…………………………（12分）17．解：（1）∵AC⊥B1BCC1，AC⊥BC，∴AC⊥B1B又AC⊥BC∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角…………………………（3分）在Rt△B1BC中，B1B=AB=a2BC=a2tan11BCBBCBB即二面角B1—AC—B的平面角的正切值为2.……………………………（6分）（2）作CD⊥AB垂足为D，作DE⊥AB1，垂足为E，…………………（7分）∵CD⊥AB，CD⊥AB1∴CD⊥面A1ABB1∴CD⊥AB1又DE⊥AB1∴AB1⊥面EDC∴AB1⊥EC即此时E点即为所求.………………………………（9分）在Rt△EDC中，DC=,22aED=222aADaDCEDEC2322…………………………（12分）18．（1）证：)1(1111ABaAAABAaABBAaABannnn}1{ABan是以A为公比的等比数列.……………………（5分）（2）)1(211naSnnnaSnn2∴12211nnnaaa即121nnaa…………………………（7分）由（1）知}1{na是公比为2的等比数列，12nna…………………（9分）1232132)(nnxnaxaxaaxf…………………………（10分）nanaaaf32132)1(=（2+2×22+3×23+…+n×2n）－(1+2+3+…+n)………………（11分）=2+（n－1）2n+1－2)1(nn………………………………………（14分）19．（1）证：F（)0,2p，设l:x=my+2p由0222222pmpyypmyxpxy得…………………………（3分）22222221222121221414)(4)(22ppppyypypyxxpyy…………（7分）（2）解：设M（nmnpnNmpm且),,2(),,222则MN的垂直平分线l的方程为)4(2222pnmxpnmnmy…………（9分）若l过F（2p，0），则)42(22022pnmppnmnm整理得：0)2)((222nmpam…………………………（11分）002,0222nmnmpp…………………（12分）此时l方程为y=0，与抛物线C仅有一个交点.而l与抛物线C有两个交点.∴l与l不重合，即不存在弦MN，使得l是MN的垂直平分线………………（14分）20．设第n次去户外锻炼的人数为na，去室内锻炼的人为nb，则na+nb=550×30%=150100lim)100()107(100)107)(100(100)100(10710030107)150(102109102109111111111nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabaa∴随着时间的推移，去户外锻炼的人数将稳定在100人左右.21．（1）证：1)0(1)()()(fxfxfxxf设1)(0,0,0xfxx则1)(1)()0()](0[)(xfxffxfxf…………………………………（4分）（2）解：设1)(00,121221xxfxxxx则)0)(()()()()]([()(221221221xfxfxxfxfxxxfxf)(xf在R上单调递减.……………………………………………………（8分）（3）)()()()()()(yxfyfxfxfyfyxf)2()2()2[(])2[(])2[(2222fyxfyfxf2)2()2(22yx①………（10分）又)0(1)4(fyxf04yx②………（11分）如图，同时满足①、②的点（),yx的集合如阴影所示，∴Z∈[4，6]………………………………（14分）