2005—2006学年度北京市海淀区高三年级第一学期期末练习

2005—2006学年度北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学试卷（理科）YC一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知cos,21)sin(那么的值为（）A．21B．21C．23D．232．过点A（4，a）和点B（5，b）的直线与直线mxy平行，则|AB|的值为（）A．6B．2C．2D．不能确定3．函数xxxxfcossin42cos3)(的最小正周期为（）A．4B．2C．D．24．已知baacbacba与则,,,2||,1||夹角大小为（）A．6B．65C．3D．325．已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，给出下列四个命题①//,,则若mm②//,//,,则若nmnm③若nmnm则,,//④则若,,mm其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．将函数xxycos3sin的图象沿x轴向右平移a个单位（a0），所得图象关于y轴对称，则a的最小值为（）A．67B．2C．6D．37．一个三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为1、6、3.已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（）A．16B．32C．36D．648．已知曲线1:2121yxC，给出四下列四个命题①曲线C与两坐标轴围成的图形面积不大于21②曲线C上的点到原点的距离的最小值为42③曲线C关于点（41,41）中心对称④当,0x1时，曲线C上所有点处的切线斜率为负值其中正确命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）9．抛物线aaaxy,0(2R）的焦点坐标为，准线方程是.10．若实数0,0033,yxyxyx满足①，则不等式组①表示的区域面积为，12xyz的取值范围是.11．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B—AD—C为60°，则点A到BC的距离为，点D到平面ABC的距离为.12．下图中的多边形均为正多边形.图①中F1、F2为椭圆的焦点，M、N为所在边中点，则该椭圆的离心率e1的值为，图②中F1、F2为双曲线的焦点，M、N、P、Q分别为所在边中点，则该双曲线的离心率e2的值为.13．一个正方体内接于一个球，过球心作截面，则下图中截面的可能图形是，其中过正方体对角面的截面图形为.（把正确的图形的序号全填在横线上）14．分段函数,,)(xxxf可以表示为||)(xxf，同样分段函数3,33,)(xxxxf可以表示为|3|3(21)(xxxf）仿此，分段函数3,,3,3)(xxxxf可以表示为)(xf=，分段函数bxbbxaxaxaxf,,,,)(，可以表示为)(xf=.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题共13分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.2sin2C=3cosC，c=7，又△ABC的面积为233.（I）角C的大小；（II）a+b的值.16．（本小题共14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=21AA1=a，∠BAC=90°，D为棱B1B的中点.（I）证明：A1D⊥平面ADC；（II）求异面直线A1C与C1D所成角的大小；（III）求平面A1CD与平面ABC所成二面角的大小（仅考虑锐角的情况）.x0x≤017．（本小题共13分）已知0342:22yxyxC.（I）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（II）从圆C外一点P),(11yx向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.18．（本小题共14分）数列012:),(,1,)}({11yxlaaaNnannn在直线且点中上.（I）设1nnab，求证：数列}{nb是等比数列；（II）设}{),23(nnncanc求的通项公式；（III）}{nncT是的前n项和，试比较nnTn132322与的大小.19．（本小题共13分）已知双曲线)0,0(12222babyax的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（c，0）（c0），右准线为3||,21:AFxl.过点F作直线交双曲线的右支于P、Q两点，延长PB交右准线l于M点.（I）求双曲线的方程；（II）若PBQOQOP求,17的面积S；（III）若),1,0(FQPF问是否存在实数)(f，使得MQAM.若存在，求出)(f的表达式；若不存在，请说明理由.20．（本小题共13分）设函数BACxBxAxxf6)(23，其中实数A，B，C满足：①9841218BCAB，②ABA63.（I）求证：49)1(;41)1(ff；（II）0)sin2(:,0xfx求证设.参考答案及评分标准一、选择题1.D2.B3.C4.D5.C6.C7.A8.C二、填空题（第一空2分，第二空3分，13题反之）9．4);0,4(axa10．),1[]2,(;2311．1015;41512．3113;1313．①②③；②14．|)|||(21)(|);3|3(21)(bxaxbaxfxxxf三、解答题15．解：（1）由已知得CCcos2)cos1(22，……………………2分2cos21cosCC或（舍），………………………4分在三角形ABC中，C=60°.……………………………6分（2）6,23360sin21,233sin21ababCabSABC…………8分又,cos2)7(,cos2222222CabbaCabbac,13,72222baabba……………………10分.51213222abbaba……………………13分16．[解法一]（1）证：ABDDBA和11都为等腰直角三角形，4511ADBDBA，ADDA，DAA1190即………2分又DACAABBADAABBACAAACAABCA1111111平面平面.1ADCDA平面……………………4分（2）解：连AC1交A1C于E点，取AD中点F，连EF、CF，则EF//C1DCEF是异面直线A1C与C1D所成的角（或补角）…………5分,2521,2321111aCACEaDCEFaAFCACF2622在,15152cos,222EFCECFEFCECEFCEF中………………8分1515arccosCEF则异面直线A1C与C1D所成角的大小为.1515arccos………………9分（3）解：延长A1D与AB延长线交于G点，连结CG过A作AH⊥CG于H点，连A1H，AA1平面ABC，CGHA1（三垂线定理）则HAA1是二面角A1—CG—A的平面角，即所求二面角的平面角……10分在直角三角形ACG中，aAGaAC2,，,5aCGaCGAGACAH552……………………11分在直角三角形A1AH中，5tan11AHAAHAA，………………13分,5arctan1HAA即所求的二面角的大小为5arctan…………14分[解法二]向量法（略）17．解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为ayx，又∵圆C：2)2()1(22yx，∴圆心C（－1，2）到切线的距离等于圆半径2，即：,3122|121|aa或……………………4分当截距为零时，设kxy同理可得).62()62(kk或则所求切线的方程为：0301yxyx或或xyxy)62()62(或（2）∵切线PM与半径CM垂直，222||||||CMPCPM……………………………………8分03422)2()1(1121212121yxyxyx∴动点P的轨迹是直线0342yx……………………10分∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.而|PO|的最小值为点O到直线0342yx的距离1053d………11分.0342,209112121yxyx由可得：.53,10311yx则所求点坐标为).53,103(P………………………………13分18．（1）证明：012:),(1yxlaann在直线点上121nnaa………………1分22111nnnaab………2分21)1(2011nnnnnnaabbab……………………4分}{nb数列是首项为2，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）可得12nna，………………………………6分所以nnncnnn23)123(……………………8分（3）)21()223222(332nnTnn=2)1(]22)1[(31nnnn………………10分)122)(1(12)12)(1(122)1(12)1323(22nnnnnnnTInnn当nnTInn13232,0,12时；…………………………11分当nnTInn13232012,22时………………12分当nnT，Inn13232,032时用数学归纳法证明如下：当024,3In时假设),3(Nkkkn时成立即0)122)(1(12kkIk即122kk当]1)1(22)[11(12,11kkIknk时)12(12]32)12(2[12)3222(12kkkkkkkk03Ik综上可知03In时nnTn132322…………………………14分综上可知当nnTnnnTnnn13232,2;13232,122时当时；当.13232,32nnTnn时19．解：（1）由题意知.2,3,1,21,32222cbaacbcaca则双曲线方程为：.1322yx…………………………3分（2）设)0,1(),0,1()0,2(,),,(),,(2211BAFyxQyxP易得，右准线21:xl，设PQ方程为：).2(xky代入双曲线方程可得：0)34(4)3(2222kxkxk由于P、Q都在双曲线的右支上，所以，3.334,034,0)34)(3(416,032222122212222kkkxxkkxxkkkk…………………………4分39]4)(2[)2()2(22212122121kkxxxxkxkxkyy……4分由于),(),,(2211yxOQyxOP由17OQOP可得：172121yyxx…………………………6分4173933422222kkkkk……………………………………7分此时36,19,16212121yyxxxx分8.56364414421364)12(214)(121||||2112)4()2()2(22122121212121kyyyyyyBFSkxxkxkxkyyPBQ（II）存在实数，满足题设条件.PB的直线方程为：)1(1011xxyy令21x得)1(211