08年高考数学立体几何整理

2008年高考立体几何整理一、选择题1、已知m,n是两条不同直线，α,β,Υ是三个不同平面.下列命题中正确的是（A）若α⊥Υ，β∥Υ，则α∥β(B)若m⊥α，n⊥α，则m∥n（C）若m∥α，n∥α，则m∥n（D）若m∥α，m∥β，则a∥β2、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A.63B.265C.155D.1053、用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为A.323B.83C.82D.8234、已知直线m、n和平面、满足m⊥n，⊥，m则A.n⊥B.n∥或nC.n⊥D.n∥或n5、长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则顶点A、B间的球面距离是A.42B.22C.2D.226、设直线m与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C.与直线m垂直的直线不可能．．．与平面α平行D.与直线m平行的平面不．可能与平面α垂直7、已知三棱柱ABC－111CBA的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则A1B与底面ABC所成角的正弦值等于(A)31(B)32(C)33(D)328、正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为A.3B.6C.9D.189、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于A.1B.2C.3D.210、设M是球O的半径OP的中点，分别过M、O作垂直于OP的平面，截球面得到两个圆，则这两个圆的面积比值为（A）14（B）12（C）23（D）3411、设直线l平面，过平面外一点A且与l、都成30°角的直线有且只有（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条12、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为（A）2（B）22（C）32（D）4213、设ab，是两条直线，，是两个平面，则ab的一个充分条件是（）A．ab，∥，B．ab，，∥C．ab，，∥D．ab，∥，14、对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面，使得ABCDABCDEF（A）,ab（B）,//ab（C）,ab（D）,ab15、设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥C.若，m,则mD.若，m，m,则m∥16、已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为A．31B.32C.33D.32二、填空题1、如图，已知球O点面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O点体积等于2、已知点A，B，C，D在同一球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD.若AB=6,AC=213,AD=8,则B，C两点间的球面距离是.3、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.4、在体积为43的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BC=2，A、C两点的球面距离为33，则球心到平面ABC的距离为.5、已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A-BD-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于.6、若一个球的体积为43，则它的表面积为．三、解答题1、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60？2、如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝4,OA⊥底面ABCD，OA=2,M为OA的中点.（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离.3、如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AC；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.4、如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.5、如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC侧面11.AABB（Ⅰ）求证：;ABBC（Ⅱ）若1AAACa，直线AC与平面1ABC所成的角为，二面角1,.2ABCA的大小为求证：6、如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝3.(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.7、四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB=AC.(1)证明：AD⊥CE;(2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小.8、如图，正四棱柱ABCD-1111DCBA中42AA1AB，点E在1CC上且ECEC31①证明：BED1平面CA①求二面角BDE-A1的大小9、如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥12AD，BE∥12AF，G、H分别是FA、FD的中点。(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？(Ⅲ)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.10、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形．已知3AB，2AD，2PA，22PD，60PAB∠．（Ⅰ）证明AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角PBDA的大小．参考答案一、选择题1-5：BDDDB6-10：BABBD11-16：BBCBDC二、填空题GHFEDCBAABCDP1、432、433、924、325、326、12三、解答题1、922、060233、解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD.∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴AB＝BP，∴BE⊥AP.∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=623AB，∴sin∠BEC=.36BEBC∴二面角B-AP-C的大小为aresin.36解法二：（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.设P（0，0，t）,∵｜PB｜=｜AB｜＝22，∴t=2,P(0,0,2).取AP中点E，连结BE，CE.∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,∴CE⊥AP,BE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.∵E(0,1,1),),1,1,2(),1,1,0(EBEC∴cos∠BEC=.33622EBECEBEC∴二面角B-AP-C的大小为arccos.334、解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝2，在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝322OBOP,cos∠PBO=3632PBOB,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为36.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝2，在Rt△POC中，PC＝222OPOC，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=43·2=23.又S△=,121ABAD设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得31S△ACD·OP＝31S△PCD·h，即31×1×1＝31×23×h，解得h＝332.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O为坐标原点，OPODOC、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以CD＝（-1，1，0），PB＝（t，-1，-1），∞〈PB、CD〉=362311＝＝CDPBCDPB，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为36，（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知CP=（-1，0，1），CD＝（-1，1，0），则n·CP＝0，所以-x0+x0=0,n·CD＝0，-x0+y0=0，即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又AC=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d＝.33232nnAC5、(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.又BC平面A1BC所以AD⊥BC.因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.(Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=.于是在RtΔADC中，sinθ=aADACAD,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝aADAAAD1,∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋＝∠AA1B＋＝2，故θ＋＝2.证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(0,0,22ca),A1(0,c,a)，于是)0,0,(22caBC，1BA＝（0，c,a）,)0,,(22ccaAC1AAc,a设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则由.0,0,0,0221xcaazcyBCnBAn得可取n＝（0，－a，c），于是n·AC=ac＞0，AC与n的夹角为锐角,则与互为余角sin=cos=222222222)()0,,(),,0(||||cacccacaccacaACnACn,cos=,),0,0(),,0(||||222211cacacaacaBABABABA