08高考数学三角函数式的化简与求值

难点16三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知2＜β＜α＜43,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin220°+cos280°+3sin220°cos80°=21(1－cos40°)+21(1+cos160°)+3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)=41解法二：设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°y=cos220°+sin280°－3cos20°sin80°，则x+y=1+1－3sin60°=21，x－y=－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x=y=41，即x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°=41.［例2］设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=21的a值，并对此时的a值求y的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y=2(cosx－2a)2－2242aa及cosx∈［－1，1］得：f(a))2(41)22(122)2(12aaaaaa∵f(a)=21,∴1－4a=21a=81［2,+∞)故－22a－2a－1=21，解得：a=－1，此时，y=2(cosx+21)2+21，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.［例3］已知函数f(x)=2cosxsin(x+3)－3sin2x+sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值；(3)若当x∈［12，127］时，f(x)的反函数为f－1(x)，求f-－1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维.解：(1)f(x)=2cosxsin(x+3)－3sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos3+cosxsin3)－3sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+3cos2x=2sin(2x+3)∴f(x)的最小正周期T=π(2)当2x+3=2kπ－2，即x=kπ－125(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.(3)令2sin(2x+3)=1，又x∈［27,2］,∴2x+3∈［3,23］,∴2x+3=65，则x=4，故f-－1(1)=4.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式.2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－2,2)，则tan2的值是()A.21B.－2C.34D.21或－2二、填空题2.(★★★★)已知sinα=53，α∈(2，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4)，β∈(0，4)，cos(α－4)=53，sin(43+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos1)370tan31(100sin130sin25.已知cos(4+x)=53，(1217＜x＜47)，求xxxtan1sin22sin2的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠kπ(k∈Z).求)44(sin42sin2csc)cos(12的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB的半径为1，中心角60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=10432log21xx的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一：∵2＜β＜α＜43,∴0＜α－β＜4.π＜α+β＜43,∴sin(α－β)=.54)(sin1)cos(,135)(cos122∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21歼灭难点训练一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－2,2)∴α、β∈(－2,θ),则2∈(－2,0),又tan(α+β)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tantan1tantan2又aa,整理得2tan222tan32=0.解得tan2=－2.答案：B2.解析：∵sinα=53,α∈(2,π),∴cosα=－54则tanα=－43,又tan(π－β)=21可得tanβ=－21,247)34()43(1)34(432tantan1tantan)2tan(.34)21(1)21(2tan1tan22tan222答案：2473.解析：α∈(43,4),α－4∈(0,2),又cos(α－4)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sinsincoscos)cos(sinsin2cossin1sin2cossin2tan1sin22sin54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos2sin,53)4cos(:.522xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos2sin42)2sin2(sin2)2sin2121(42cos2cos22sin2)22cos(142sin1)cos1(2sin)44(sin42sin2csc)cos(1:.62222tt令解k（k∈Z）,322322k（k∈Z）∴当,22322k即34k（k∈Z）时,)322sin(的最小值为－1.7.解：以OA为x轴.O为原点，建立平面直角坐标系，并设P的坐标为(cosθ,sinθ)，则｜PS｜=sinθ.直线OB的方程为y=3x，直线PQ的方程为y=sinθ.联立解之得Q(33sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－33sinθ.于是SPQRS=sinθ(cosθ－33sinθ)=33(3sinθcosθ－sin2θ)=33(23sin2θ－22cos1)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6)－63.∵0＜θ＜3,∴6＜2θ+6＜65π.∴21＜sin(2θ+6)≤1.∴sin(2θ+6)=1时，PQRS面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6，点P为的中点，P(21,23).8.解：设u=sinα+cosβ.则u2+(3)2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t=32x,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤5.x=232t..21,232,2,258log2log82log,0log.82,2,42.8224142142104325.05.05.0min5.0max2xxtyMMyMtttttttxxM此时时时是减函数在时即当且仅当