08高考数学函数图象与图象变换复习

08高考数学函数图象与图象变换测试函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.●难点磁场(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围.●案例探究［例1］对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.技巧与方法：数形结合、等价转化.(1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图象上，而2)2(00xxa=a,∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.［例2］如图，点A、B、C都在函数y=x的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.错解分析：图形面积不会拆拼.技巧与方法：数形结合、等价转化.解：(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B=21(A′A+C′C)=21(2aa),g(a)=S△A′BC′=21A′C′·B′B=B′B=1a.0)11121(21)]1()12[(21)122(21)()()2(aaaaaaaaaaaagaf∴f(a)g(a).●锦囊妙计1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)当a≠0时，y=ax+b和y=bax的图象只可能是()2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()二、填空题3.(★★★★★)已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________.三、解答题4.(★★★★)如图，在函数y=lgx的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m1).(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);(2)判断S=f(m)的增减性.5.(★★★★)如图，函数y=23|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m23)是△ABC的BC边的中点.(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标.6.(★★★★★)已知函数f(x)是y=1102x－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－21x的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由.7.(★★★★★)已知函数f1(x)=21x,f2(x)=x+2,(1)设y=f(x)=]1,0[),(3)0,1[),(21xxfxxf，试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a的范围.(3)若f1(x)f2(x－b)的解集为［－1，21］，求b的值.8.(★★★★★)设函数f(x)=x+x1的图象为C1，C1关于点A(2，1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).(1)求g(x)的解析表达式；(2)若直线y=b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标；(3)解不等式logag(x)loga29(0a1).参考答案难点磁场解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1，0)，∴f(x)=a+b+c①,又有f(－1)＜0,即－a+b－c＜0②,①+②得b＜0,故b的范围是(－∞,0)解法二：如图f(0)=0有三根，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax,∴b=－3a,∵a0,∴b＜0.歼灭难点训练一、1.解析：∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B中a0,b1,∴ba1,C中a＜0,b1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba1.故选择支B、C、D均与指数函数y=(ba)x的图象不符合.答案：A2.解析：由题意可知，当x=0时，y最大，所以排除A、C.又一开始跑步，所以直线随着x的增大而急剧下降.答案：D二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x－2)F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2)=log21441log441log)2(122222xxxxxxxx)1(21111log2xxx∵x+10,∴F(x)≤41log211)1(21log22xx=－2当且仅当x+1=11x,即x=0时取等号.∴F(x)max=F(0)=－2.答案：－2三、4.解：(1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C.(2)S=f(m)为减函数.5.解：(1)依题意，设B(t,23t),A(－t,23t)(t0),C(x0,y0).∵M是BC的中点.∴20xt=1,2230yt=m.∴x0=2－t,y0=2m－23t.在△ABC中，|AB|=2t,AB边上的高hAB=y0－23t=2m－3t.∴S=21|AB|·hAB=21·2t·(2m－3t),即f(t)=－3t2+2mt,t∈(0,1).(2)∵S=－3t2+2mt=－3(t－3m)2+32m,t∈(0,1],若23130mm，即23＜m≤3,当t=3m时，Smax=32m,相应的C点坐标是(2－3m,23m),若3m1,即m3.S=f(t)(0，1］上是增函数，∴Smax=f(1)=2m－3,相应的C点坐标是(1，2m－3).6.解：(1)y=1102x－1的反函数为f(x)=lgxx11(－1＜x＜1).由已知得g(x)=21x,∴F(x)=lgxx11+21x,定义域为(－1，1).(2)用定义可证明函数u=xx11=－1+12x是(－1，1）上的减函数，且y=lgu是增函数.∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A、B.7.解：(1）y=f(x)=]1,0[,1)0,1[,12xxxx.图略.y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+2)π.(2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a的取值范围为2－2＜a≤1.(3)若f1(x)f2(x－b)的解集为［－1，21］，则可解得b=235.8.(1)g(x)=x－2+41x.(2)b=4时，交点为(5，4)；b=0时，交点为(3，0).(3)不等式的解集为{x|4＜x＜29或x6}.