08高考数学第二轮复习集合与简易逻辑

08高考数学第二轮复习集合与简易逻辑一、【重点知识结构】二、【高考要求】1.理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.2.理解|ax+b|c,|ax+b|c(c0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法.3.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定.4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.三、【高考热点分析】集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.四、【高考复习建议】概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理集合集合的基本概念集合与集合的关系集合的应用集合及元素集合分类及表示子集、包含与相等交集、并集、补集解含绝对值符号、一元二次、简单分式不等式简易逻辑性命题逻辑联结词简单命题与复合命题四种命题及其关系充分必要条件解集合问题.五、【例题】【例1】设}13|{},13|{,,22yybbBxxaaARyx，求集合A与B之间的关系。解：由4545)23(1322xxxa，得A=}45|{xx45)23(1322yyyb45∴A=B【例2】已知集合A=}0103|{2xxx，集合B=}121|{pxpx，若BA，求实数p的取值范围。解：若B=Φ时，2121ppp若B≠Φ时，则3251212121ppppp综上得知：3p时，BA。【例3】已知集合}123|),{(axyyxA，集合B=}30)1()1(|),{(2yaxayx。如果BA，试求实数a的值。解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B；当a=1时，B=Φ，A∩B=Φ当a=－1时，集合B为直线y=－15，A∩B=Φ当a≠±1时，集合A：)2)(1(3xay，A)3,2(，只有B)3,2(才满足条件。故303)1(2)1(2aa；解得：a=－5或a=27∴a=1或a=27或a=－1或a=－5。【例4】若集合A=}3,1,23{x，B=},1{2x，且}3,1,23{xBA，求实数x。解：由题设知ABA，∴AB，故32x或xx232即3x或1x或3x，但当1x时，123x不满足集合A的条件。∴实数x的值为3或3。【例5】已知集合A=}0310|{2xxx，B=}022|{2mxxx，若BBA，求实数m的值。解：不难求出A=}52|{xx，由BBAAB，又0222mxx，m84①若084m，即21m，则AB②若084m，即21m，}211211|{mxmxB，∴52112211mm214m故由①②知：m的取值范围是),4[m注：不要忽略空集是任何集合的子集。【例6】已知集合A={019|22aaxxx}，B=}1)85(log|{22xxx，C=}082|{2xxx，若AB与AC同时成立，求实数a的值。解：易求得B=}3,2{，C=}4,2{，由AB知A与B的交集为非空集。故2，3两数中至少有一适合方程01922aaxx又AC，∴A2，即019392aa得，a=5或a=－2当a=5时，A=}3,2{，于是}2{CA，故a=5舍去。当a=－2时，A=}5,2{，于是}3{BA，∴a=－2。【例7】}023|{2xxxA，}022|{2axxxB，A∪B=A，求a的取值构成的集合。解：∵A∪B=A，∴AB，当B时0162a，∴-4a4，}2,1{}023|{2xxxA，当1∈B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B={1}，当2∈B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时AB}2,21{，a=5舍去，∴-4a≤4。【例8】已知}023|{2xxxA，}02|{axxB且A∪B=A，求实数a组成的集合C。解：由A={1，2}，由A∪B=A，即AB，只需a×1-2=0，a=2或a×2-2=0，a=1。另外显然有当a=0时，B也符合。所以C={0，1，2}。【例9】某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数；（4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。【例10】（2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于x的不等式0)23()73(222aaxax的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.解：原不等式即0)32)(12(axax，由0x适合不等式故得0)32)(1(aa，所以1a，或23a.若1a，则5)1(252132aaa，∴2123aa，此时不等式的解集是}2321|{axax；若23a，由45)1(252132aaa，∴2123aa，此时不等式的解集是}2123|{axax.【例11】（2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知1a，设命题01)2(:xaP，命题1)2()1(:2xaxQ.试寻求使得QP、都是真命题的x的集合.解：设}1)2()1(|{}01)2(|{2xaxxBxaxA，，依题意，求使得QP、都是真命题的x的集合即是求集合BA，∵2211(2)1022(1)(2)1()(2)0(2)20axxxaaxaxxaxxaxa∴若12a时，则有122xaxxa或，而11(2)20aaaa，所以12aa，即当12a时使QP、都是真命题的1{|22}xxxxaa或；当2a时易得使QP、都是真命题的3{|,2}2xxxx且；若2a，则有122xaxax或，此时使得QP、都是真命题的1{|22}xxxaxa或．综合略.【例12】（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件axp|15:|和条件01321:2xxq，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a，也能先猜后证，所找到的实数a只需满足2151a，且51a1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.解：已知条件p即ax15，或ax15，∴51ax，或51ax，已知条件q即01322xx，∴21x，或1x；令4a，则p即53x，或1x，此时必有qp成立，反之不然.故可以选取的一个实数是4a，A为p，B为q，对应的命题是若p则q，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.【例13】已知)0(012:2|311:|22mmxxqxp，；¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：由，2|311|x得102x，由)0(01222mmxx，得)0(11mmxm，∴¬p即2x，或10x，而¬q即mx1，或mx1)0(m；由¬p是¬q的必要不充分条件，知¬q¬p，设A=}102|{xxx，或，B=)}0(11|{mmxmxx，或，则有AB，故，，，010111mmm且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得30m，此即为“¬p是¬q的必要不充分条件”时实数m的取值范围.【例14】（2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数xxfalog)(，其中}1220|{2aaaa.（1）判断函数xxfalog)(的增减性；（2）（文）若命题:p)2(1|)(|xfxf为真命题，求实数x的取值范围.（2）（理）若命题:p|)2(|1|)(|xfxf为真命题，求实数x的取值范围.解：（1）∵}1220|{2aaaa，∴020122aa，即102a，∴函数xyalog是增函数；（2）（文）)2(1|)(|xfxf即12log|log|xxaa，必有0x，当10x，0logxa，不等式化为12loglogxxaa，∴12loga，这显然成立，此时10x；当1x时，0logxa，不等式化为12loglogxxaa，∴12logxa，故2ax，此时21ax；综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是}20|{axx.（2）（理）|)2(|1|)(|xfxf即1|2log||log|xxaa，必有0x，当410x时，02loglogxxaa，不等式化为12loglogxxaa，∴12logxa，故12logxa，∴ax21，此时4121xa；当141x时，xxaa2log0log，不等式化为12loglogxxaa，∴12loga，这显然成立，此时141x；当1x时，xxaa2loglog0，不等式化为12loglogxxaa，∴12logxa，故2ax，此时21ax；综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是}221|{axax.六、【专题练习】一、选择题1．已知I为全集，集合M、NI，若MN=M，则有：（D）A．M(NCu)B．M(NCu)C．)()(NCMCuuD．)()(NCMCuu2．若非空集合A、B适合关系AB，I是全集，下列集合为空集的是：（D）A．BAB．)()(BCACuuC．BACU)(D．)(BCAU3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（C）A．6个B．7个C．8个D．9个4．满足｛a｝X｛a,b,c｝的集合X的个数有（B）（A）2（B）3（C）4（D）55．已知集合I、P、Q适合I=PQ=｛1，2，3，4，5｝，PQ=｛1，2｝则（PQ