06-07年上学期同步测控优化训练高三数学极限(附答案)

高三数学同步检测(六)极限说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.下列无穷数列中,极限不存在的数列是()A.1,21,41,81,n121·)1(n,…B.3,3,3,3,…,3,…C.3,25,37,…,nn12,…D.1,0,-1,0,…,2sinn,…分析本题考查常见数列的极限.解∵nlim(-1)n+1·n21=0,nlim3=3,nlimnn12=nlim(n12)=2,∴A、B、C存在极限.而D是一摆动数列,不存在极限.答案D2.若nliman=3且nlimbn=-1,那么nlim(an+bn)2等于()A.4B.-4C.16D.-16分析本题考查数列极限的运算法则,即如果两个数列都有极限,那么它们的和、差、积、商的极限分别等于它们极限的和、差、积、商.解nlim(an+bn)2=nlim(an2+2anbn+bn2)=nliman2+2nliman·nlimbn+nlimbn2=32+2×3×(-1)+(-1)2=4.答案A3.若2,,2,,2,)(2xaxxxxbxxf在x=2处连续,则实数a、b的值是()A.-1,2B.0,2C.0,-2D.0,0分析本题考查函数的左、右极限与函数极限的关系、函数连续的概念及它们之间的关系.解f(x)在x=2处连续.4)2(lim)(lim22fxfxx∵2limxf(x)=2limx(x2+a)=4+a=4,∴a=0.2limxf(x)=2limx(x+b)=2+b=4,∴b=2.答案B4.等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若,132nnTSnn则nnnbalim的值等于()A.1B.36C.32D.94分析本题考查当n→∞时数列的极限.解题的关键是把结论中通项的比值用条件中前n项和的比值表示出来,即把nnba转化成关于n的多项式.解法一设Sn=kn·2n,Tn=kn(3n+1)(k为非零常数).由an=Sn-Sn-1(n≥2),得an=2kn2-2k(n-1)2=4kn-2k,bn=kn(3n+1)-k(n-1)［3(n-1)+1］=6kn-2k.∴nnnbalim＝kknkknn2624lim.32642624limnnn解法二∵nnba=22121121121121nnnnbbaabbaa,2)12(2)12(1212121121nnnnTSbbnaan又∵,132nnbSnn∴.26241)12(3)12(21212nnnnTSbannnn∴.32642624limlimnnbannnn答案C5.若,41121lim22xxkxx则常数k的值为()A.2B.21C.-2D.-21解析原式=,21121lim22kxxxkx∵,412k∴k=21.答案B6.213lim21xxxx的值为()A.3B.-3C.-2D.不存在分析本题考查函数在x→x0处的极限值.如果把x=x0代入函数解析式,解析式有意义,那么f(x0)的值就是函数的极限值.解.3211113213lim21xxxx答案B7.函数f(x)=41624xx的不连续点是()A.x=2B.x=-2C.x=2和x=-2D.x=4分析本题考查函数的连续性.一般地,函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2))(lim0xfxx存在；(3)),()(lim00xfxfxx,即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.解因函数在x=±2时无定义,所以不连续点是x=±2.答案C8])13)(23(11071741411[limnnn等于()A.41B.31C.32D.1分析由于“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加,因此,对于本题应先求和化为有限项的算式,再运用极限的运算法则求极限.解∵),131231(31)13)(23(1nnnn)13)(23(11071741411nn.13)1311(31)131231101717141411(31nnnnn∴原式=.3113limnnn答案B9.★已知一个数列的通项公式为f(n),n∈N*,若7f(n)=f(n-1)(n≥2)且f(1)=3,则nlim［f(1)+f(2)+…+f(n)］等于()A.27B.73C.-7D.-27分析本题考查当n→∞时数列的极限.关键是先求出数列的通项公式f(n),然后求其前n项和,把待求极限式化成有限项形式,即化成关于n的多项式,再求极限.解∵f(1)=3≠0,∴.71)1()(nfnf∴数列为首项为3,公比为71的等比数列.∴f(n)=3·(71)n-1.由公比不为1的等比数列的前n项和公式,得Sn=].)71(1[27711])71(1[3nn∴.27])71(1[27lim)]()2()1([limnnnnfff答案A10.nlim(2x+1)n=0成立的实数x的范围是()A.x=-21B.-21＜x＜0C.-1＜x＜0D.-1＜x≤0分析本题考查数列的一个重要极限,即limn→∞an=0时,有|a|＜1.解要使nlim(2x+1)n=0,只需|2x+1|＜1,即-1＜2x+1＜1.解得-1＜x＜0.答案C第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在横线上)11.nlim)1121311(222nnnn.分析当n无限增大时,1)12(3111213112222nnnnnn的分子中含无限多项,而“和的极限等于极限的和”只能用于有限多项相加.因此应先将分子化为只含有限多项的算式,然后再运用极限的运算法则求极限.解原式=nlim.11lim1)12(31222nnnnn答案112.1limx54222xxxx.分析本题考查当x→x0时函数的极限.若把x=1代入分子、分母中,分式变成“00”型,不能直接求极限,因此可把分子、分母分别进行因式分解,约去分子、分母中的“零因式”,然后再代入求极限.解1limx54222xxxx1limx)1)(5()1)(2(xxxx1limx.216352xx答案2113.★一个热气球在第一分钟时间里上升了25米高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球最多能上升米.解析由题意,该热气球在第一分钟,第二分钟,…,上升的高度组成首项为25,公比为54的等比数列,它上升的最大高度S=nlimSn=nlim).(125541])54(1[25米n答案12514.nlim11)2(3)2(3nnnn.分析本题考查nlimqn=0,|q|＜1的应用.因为当n→∞时,构成该式的四项均没有极限,故应将分子、分母同时除以底数最大、次数较高的项3n,以期转化成每一项都有极限的形式,再运用极限的运算法则求解.解.310301)32(23)32(1lim)2(3)2(3lim11nnnnnnnn答案31三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)讨论函数2,)2(2,)(2xxxxxf在x=2处的左极限、右极限以及在x=2处的极限.分析本题考查函数在某一点处的极限,左、右极限的定义及其相互关系..)(lim)(lim)(lim000axfxfaxfxxxxxx对于常见函数,可先画出它的图象,观察函数值的变化趋势,利用极限的定义确定各种极限.解当x→2-时,函数无限接近于0,即.0)(lim2xfx3分当x→2+时,函数无限接近于2,即.2)(lim2xfx综上,可知)(lim2xfx≠)(lim2xfx,6分∴函数f(x)在x=2处极限不存在.8分16.(本小题满分8分)已知数列{an}中,an=,)12)(12()2(2nnnSn为其前n项的和,求nSnnlim的值.分析由于nSnnlim中是无穷项和的极限,必须先求得和的化简式,转化为有限项的极限问题.而)12)(12()2(2nnnan是一类裂项后有明显相消项的数列,所以采用了裂项法.但相消时应注意消去项的规律,即消去了哪些项,保留了哪些项.解分　　　　　　　　　　　　　３分6.1222)]1211(21[1)]1211215131311(21[1)]121121(1)5131(211)311(211[11,21)121121(1)12)(12(11)2()12)(12()2(22nnnnnnnnnnnnSnnnnnnnnnann∴.11212limlimnnnSnnn8分17.(本小题满分8分)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=0.5,AB=1,在△ABC内有一系列正方形,求所有这些正方形面积之和.分析本题考查等比数列前n项和的极限.解设正方形BD1C1B1、D1D2C2B2、…的边长分别为a1,a2,….∵AB=1,tanC=0.5,∴BC=2.由相似三角形的知识可得11211aa,∴a1=32.同理,可得a2=32a1,…,an=32an-1.∴{an}是以32为首项,以32为公比的等比数列.3分设{Sn}是第n个正方形的面积,则Sn是以94为首项,94为公比的等比数列.4分∴nlim(S1+S2+…+Sn)=nlim,54])94(1[lim54941])94(1[94nnn即所有这些正方形面积之和为54.8分18.★(本小题满分10分)已知等差数列{an}的前三项为a,4,3a,前n项和为Sn,Sk=2550.(1)求a及k的值;(2)求nlim)111(21nSSS的值.解(1)∵a+3a=2×4,∴a=2.∴数列{an}是首项为2,公差为2的等差数列.2分∵2k+2)1(kk×2=2550,∴k=50,即a、k的值分别为2、50.5分(2)∵Sn=2n+2)1(nn×2=n2+n,∴分7.111)1(1112nnnnnnSn∴.111111312121111121nnnSSSn∴.1)111(lim)111(lim21nSSSnnn分1019.★(本小题满分10分)已知,22lim22nxmxxx求m、n的值.分析本题考查当x→x0时,函数的极限.关键是通过极限的运算构造方程组,求m、n.由nxmxxx22lim22可知x2+mx+2含有x+2这一因式,∴x=-2为方程x2+mx+2=0的根.∴m=3,代入进而可求得n.也可由,22lim22nxmxxx得.22)2(lim2lim2222xmxxxmxxxx解出m,再求n.解法一∵,22lim22nxmxxx∴x=-2为方程x2+mx+2=0的根.∴m=3.4分又,1)1(lim223lim222xxxxxx∴n=-1.9分∴m=3,n=-1.10分,0022lim)2(li